Номер 6, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.6. Найдите значение выражения:

a) $log_4 64 - log_5 0,2 + log_{13} \sqrt[4]{13} + log_{36}^2 \sqrt{6};$

б) $lg \sqrt[5]{100} - log_{14} log_4 log_{\sqrt{5}} 25.$

а) Найдем значение выражения $log_4 64 - log_5 0.2 + log_{13} \sqrt[4]{13} + log^2_{36} \sqrt{6}$.

Для решения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства логарифмов:

• Первый член: $log_4 64$. Так как $4^3 = 64$, то $log_4 64 = 3$.
• Второй член: $log_5 0.2$. Представим $0.2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$, что равно $5^{-1}$. Тогда $log_5 0.2 = log_5 5^{-1} = -1$.
• Третий член: $log_{13} \sqrt[4]{13}$. Используя свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $, получаем $log_{13} 13^{\frac{1}{4}}$. По свойству логарифма $log_a a^p = p$, имеем $log_{13} 13^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$.
• Четвертый член: $log^2_{36} \sqrt{6}$. Это выражение равно $(log_{36} \sqrt{6})^2$. Сначала найдем значение логарифма: $log_{36} \sqrt{6} = log_{6^2} 6^{\frac{1}{2}}$. Используя свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$, получаем $\frac{\frac{1}{2}}{2} log_6 6 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$. Возводим результат в квадрат: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$3 - (-1) + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 4 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Приводим дроби к общему знаменателю 16:

$4 + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = 4 + \frac{4+1}{16} = 4 + \frac{5}{16} = 4\frac{5}{16}$.

Ответ: $4\frac{5}{16}$.

б) Найдем значение выражения $lg \sqrt[5]{100} - log_{14} log_4 log_{\sqrt{5}} 25$.

Выражение состоит из двух членов. Вычислим каждый из них.

• Первый член: $lg \sqrt[5]{100}$. Десятичный логарифм $lg$ имеет основание 10. Представим выражение под логарифмом в виде степени 10: $\sqrt[5]{100} = \sqrt[5]{10^2} = (10^2)^{\frac{1}{5}} = 10^{\frac{2}{5}}$.
  Тогда $lg \sqrt[5]{100} = log_{10} 10^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}$.
• Второй член: $log_{14} log_4 log_{\sqrt{5}} 25$. Это сложный логарифм, который вычисляется последовательно изнутри наружу.
  1. Внутренний логарифм: $log_{\sqrt{5}} 25$. Представим основание и число под логарифмом как степени 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ и $25 = 5^2$.
     Тогда $log_{\sqrt{5}} 25 = log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^2$. Используя свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$, получаем $\frac{2}{\frac{1}{2}} log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$.
  2. Средний логарифм: $log_4 (log_{\sqrt{5}} 25)$. Подставляем найденное значение: $log_4 4 = 1$.
  3. Внешний логарифм: $log_{14} (log_4 log_{\sqrt{5}} 25)$. Подставляем найденное значение: $log_{14} 1 = 0$, так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Теперь найдем разность двух членов:

$\frac{2}{5} - 0 = \frac{2}{5}$.

Дробь $\frac{2}{5}$ является правильной, ее целая часть равна 0.

Ответ: $\frac{2}{5}$.