Номер 10, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.10. Докажите, что графики функций $f(x) = x^{\sqrt{5}}$ и $f(x) = x^{\frac{\sqrt{5}}{5}}$ симметричны относительно прямой $y=x.$

Чтобы доказать, что графики двух функций симметричны относительно прямой $y=x$, необходимо показать, что эти функции являются взаимно обратными. То есть, если мы найдем функцию, обратную к одной из данных функций, она должна совпасть с другой данной функцией.

Рассмотрим данные функции: $f_1(x) = x^{\sqrt{5}}$ и $f_2(x) = x^{\frac{\sqrt{5}}{5}}$.

Найдем функцию, обратную к $f_1(x) = x^{\sqrt{5}}$.

1. Запишем функцию в виде уравнения: $y = x^{\sqrt{5}}$.
2. Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
   $x = y^{\sqrt{5}}$
3. Теперь выразим $y$ из полученного уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в степень $\frac{1}{\sqrt{5}}$:
   $x^{\frac{1}{\sqrt{5}}} = (y^{\sqrt{5}})^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$
   $x^{\frac{1}{\sqrt{5}}} = y^1$
   $y = x^{\frac{1}{\sqrt{5}}}$
4. Упростим полученный показатель степени, избавившись от иррациональности в знаменателе:
   $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Таким образом, функция, обратная к $f_1(x) = x^{\sqrt{5}}$, есть функция $y = x^{\frac{\sqrt{5}}{5}}$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f_2(x) = x^{\frac{\sqrt{5}}{5}}$, мы видим, что они полностью совпадают.

Поскольку функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ являются взаимно обратными, их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Что и требовалось доказать.