Номер 4, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.4. Вычислите:

a) $\log_{\sqrt{6}} 36$;

б) $\log_{3} (81\sqrt{3})$;

в) $\log_{2} (16\sqrt[4]{2})$;

г) $\log_{3} \log_{7} \sqrt[9]{7}$;

д) $(\log_{27\sqrt{3}} 9)^2$;

е) $(\log_{8\sqrt{2}} 2)^3$.

а) Для вычисления $\log_{\sqrt{6}} 36$ необходимо найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $\sqrt{6}$, чтобы получить число 36. Запишем это в виде уравнения: $(\sqrt{6})^x = 36$.
Преобразуем обе части уравнения, приведя их к одному основанию — 6.
Основание логарифма: $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.
Аргумент логарифма: $36 = 6^2$.
Подставим эти значения в уравнение: $(6^{1/2})^x = 6^2$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $6^{x/2} = 6^2$.
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $\frac{x}{2} = 2$.
Отсюда находим $x = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления $\log_{3} (81\sqrt{3})$ воспользуемся свойством логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$.
$\log_{3} (81\sqrt{3}) = \log_{3} 81 + \log_{3} \sqrt{3}$.
Теперь вычислим каждый логарифм отдельно:
$\log_{3} 81 = \log_{3} (3^4) = 4$.
$\log_{3} \sqrt{3} = \log_{3} (3^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Сложим полученные значения: $4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{9}{2}$: $9 \div 2 = 4$ с остатком 1. Таким образом, $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Ответ: $4\frac{1}{2}$

в) Для вычисления $\log_{2} (16\sqrt[4]{2})$ представим аргумент логарифма $16\sqrt[4]{2}$ в виде степени с основанием 2.
$16 = 2^4$.
$\sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$.
Следовательно, $16\sqrt[4]{2} = 2^4 \cdot 2^{1/4}$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$2^{4 + 1/4} = 2^{16/4 + 1/4} = 2^{17/4}$.
Теперь вычисляем логарифм: $\log_{2} (2^{17/4})$.
По основному свойству логарифма $\log_a a^b = b$, получаем $\frac{17}{4}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{17}{4}$: $17 \div 4 = 4$ с остатком 1. Таким образом, $\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.
Ответ: $4\frac{1}{4}$

г) Данное выражение $\log_{3} \log_{7} \sqrt[9]{7}$ является сложным логарифмом. Вычисления производим последовательно, начиная с внутреннего логарифма.
1. Сначала вычислим $\log_{7} \sqrt[9]{7}$.
Представим $\sqrt[9]{7}$ как степень с основанием 7: $\sqrt[9]{7} = 7^{1/9}$.
$\log_{7} (7^{1/9}) = \frac{1}{9}$.
2. Подставим полученный результат во внешний логарифм: $\log_{3} (\frac{1}{9})$.
Представим $\frac{1}{9}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
$\log_{3} (3^{-2}) = -2$.
Ответ: -2

д) Выражение $\log_{27\sqrt{3}}^2 9$ равносильно $(\log_{27\sqrt{3}} 9)^2$. Сначала вычислим значение логарифма $\log_{27\sqrt{3}} 9$.
Для удобства приведем основание и аргумент логарифма к основанию 3.
Основание: $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3 + 1/2} = 3^{7/2}$.
Аргумент: $9 = 3^2$.
Наш логарифм принимает вид: $\log_{3^{7/2}} (3^2)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^{7/2}} (3^2) = \frac{2}{7/2} \log_3 3 = \frac{2}{7/2} \cdot 1 = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат: $(\frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49}$.
Ответ: $\frac{16}{49}$

е) Выражение $\log_{8\sqrt{2}}^3 2$ равносильно $(\log_{8\sqrt{2}} 2)^3$. Сначала вычислим значение логарифма $\log_{8\sqrt{2}} 2$.
Приведем основание логарифма к основанию 2.
Основание: $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{3 + 1/2} = 2^{7/2}$.
Аргумент уже равен $2^1$.
Наш логарифм принимает вид: $\log_{2^{7/2}} (2^1)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{7/2}} 2 = \frac{1}{7/2} \log_2 2 = \frac{2}{7} \cdot 1 = \frac{2}{7}$.
Теперь возведем полученный результат в куб: $(\frac{2}{7})^3 = \frac{2^3}{7^3} = \frac{8}{343}$.
Ответ: $\frac{8}{343}$