Номер 7, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.7. Найдите значение выражения:

a) $4^{1-2\log_3 9 + \log_5 \sqrt{5}}$;

б) $16^{2 - \log_4 64 + 3\log_3 \sqrt{3}}$.

а) Найдем значение выражения $4^{1 - 2\log_3{9} + \log_5{\sqrt{5}}}$. Для этого необходимо последовательно упростить показатель степени.

1. Сначала вычислим значение логарифма $\log_3{9}$. Так как $9 = 3^2$, то, используя свойство логарифма $\log_a{b^c} = c$, получаем:

$\log_3{9} = \log_3{3^2} = 2$.

2. Далее вычислим значение логарифма $\log_5{\sqrt{5}}$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, получаем:

$\log_5{\sqrt{5}} = \log_5{5^{1/2}} = \frac{1}{2}$.

3. Теперь подставим найденные значения в показатель степени и упростим его:

$1 - 2\log_3{9} + \log_5{\sqrt{5}} = 1 - 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} = 1 - 4 + \frac{1}{2} = -3 + \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$.

4. Наконец, возведем основание 4 в полученную степень:

$4^{-5/2} = (2^2)^{-5/2}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ имеем:

$2^{2 \cdot (-\frac{5}{2})} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Ответ: а) $\frac{1}{32}$.

б) Найдем значение выражения $16^{2 - \log_4{64} + 3\log_3{\sqrt{3}}}$. Решаем аналогично, упрощая показатель степени.

1. Вычислим значение логарифма $\log_4{64}$. Так как $64 = 4^3$, получаем:

$\log_4{64} = \log_4{4^3} = 3$.

2. Вычислим значение выражения $3\log_3{\sqrt{3}}$. Сначала найдем $\log_3{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то:

$\log_3{\sqrt{3}} = \log_3{3^{1/2}} = \frac{1}{2}$.

Тогда все выражение равно:

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

3. Подставим найденные значения в показатель степени:

$2 - \log_4{64} + 3\log_3{\sqrt{3}} = 2 - 3 + \frac{3}{2} = -1 + \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

4. Возведем основание 16 в полученную степень:

$16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: б) 4.