Номер 14, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.14. Вычислите:

a) $\log_2 \sin \frac{3\pi}{4};$

б) $\log_{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi}{4};$

в) $\log_3 \text{tg} \frac{4\pi}{3};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \text{ctg} \left(-\frac{5\pi}{6}\right);$

д) $\log_{0.75} \cos \frac{11\pi}{6};$

е) $\log_5 \text{tg} \frac{5\pi}{4}.$

а) Для вычисления $\log_2 \sin\frac{3\pi}{4}$ сначала найдем значение тригонометрической функции $\sin\frac{3\pi}{4}$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти, где синус имеет положительное значение. Используем формулу приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
$\sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим полученное значение в логарифмическое выражение: $\log_2 \sin\frac{3\pi}{4} = \log_2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Чтобы найти значение логарифма, преобразуем его аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ к степени с основанием 2: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2} - 1} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Таким образом, мы имеем: $\log_2(2^{-\frac{1}{2}})$.
По основному свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$: $\log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления $\log_{\sqrt{2}} \cos\frac{\pi}{4}$ сначала найдем значение $\cos\frac{\pi}{4}$.
Это табличное значение: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в логарифм: $\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Представим аргумент логарифма $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степени с основанием $\sqrt{2}$.
Так как $2 = (\sqrt{2})^2$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = (\sqrt{2})^{1-2} = (\sqrt{2})^{-1}$.
Следовательно, выражение принимает вид: $\log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^{-1})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем: $\log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^{-1}) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Для вычисления $\log_3 \tg\frac{4\pi}{3}$ сначала найдем значение $\tg\frac{4\pi}{3}$.
Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Используем формулу приведения: $\tg(\pi + \alpha) = \tg \alpha$.
$\tg\frac{4\pi}{3} = \tg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Подставим это значение в логарифм: $\log_3(\sqrt{3})$.
Представим аргумент $\sqrt{3}$ как степень с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
$\log_3(3^{1/2})$.
По свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем: $\log_3(3^{1/2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для вычисления $\log_{\frac{1}{3}} \ctg(-\frac{5\pi}{6})$ сначала найдем значение $\ctg(-\frac{5\pi}{6})$.
Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(-\frac{5\pi}{6}) = -\ctg(\frac{5\pi}{6})$.
Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Используем формулу приведения: $\ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(\frac{5\pi}{6}) = \ctg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\ctg(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.
Следовательно, $\ctg(-\frac{5\pi}{6}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.
Подставим это значение в логарифм: $\log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3})$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 3. Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Аргумент: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
Выражение принимает вид $\log_{3^{-1}}(3^{1/2})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}$, получаем: $\log_{3^{-1}}(3^{1/2}) = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Для вычисления $\log_{0,75} \cos\frac{11\pi}{6}$ сначала найдем значение $\cos\frac{11\pi}{6}$.
Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Используем формулу приведения: $\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$.
$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим это значение в логарифм. Основание логарифма представим в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
$\log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Представим аргумент $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1/2}$.
Следовательно, выражение принимает вид: $\log_{\frac{3}{4}}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{1/2}\right)$.
По свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем: $\log_{\frac{3}{4}}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{1/2}\right) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Для вычисления $\log_5 \tg\frac{5\pi}{4}$ сначала найдем значение $\tg\frac{5\pi}{4}$.
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Используем формулу приведения: $\tg(\pi + \alpha) = \tg \alpha$.
$\tg\frac{5\pi}{4} = \tg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Подставим это значение в логарифм: $\log_5(1)$.
Логарифм единицы по любому допустимому основанию ($a > 0, a \neq 1$) равен нулю.
$\log_5(1) = 0$.
Ответ: $0$.