Номер 19, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.19. Докажите, что значение выражения является целым числом:

а) $9^{\log_3(5-\sqrt{6})} + 25^{\log_5(5+\sqrt{6})}$;

б) $7^{\log_{49}(6-2\sqrt{5})} + 6^{\log_{36}(6+2\sqrt{5})}$.

а) $9^{\log_3(5-\sqrt{6})} + 25^{\log_5(5+\sqrt{6})}$

Для решения воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Сначала преобразуем каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $9^{\log_3(5-\sqrt{6})}$.
Представим основание 9 как $3^2$ и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$9^{\log_3(5-\sqrt{6})} = (3^2)^{\log_3(5-\sqrt{6})} = 3^{2 \cdot \log_3(5-\sqrt{6})}$.
По свойству логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b a^k$ внесем множитель 2 в показатель логарифма:
$3^{\log_3((5-\sqrt{6})^2)}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$(5-\sqrt{6})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 25 - 10\sqrt{6} + 6 = 31 - 10\sqrt{6}$.

Второе слагаемое: $25^{\log_5(5+\sqrt{6})}$.
Аналогично, представим основание 25 как $5^2$:
$25^{\log_5(5+\sqrt{6})} = (5^2)^{\log_5(5+\sqrt{6})} = 5^{2 \cdot \log_5(5+\sqrt{6})}$.
Внесем 2 под знак логарифма:
$5^{\log_5((5+\sqrt{6})^2)}$.
По основному логарифмическому тождеству получаем:
$(5+\sqrt{6})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 25 + 10\sqrt{6} + 6 = 31 + 10\sqrt{6}$.

Теперь сложим полученные значения:
$(31 - 10\sqrt{6}) + (31 + 10\sqrt{6}) = 31 - 10\sqrt{6} + 31 + 10\sqrt{6} = 62$.

Значение выражения равно 62, что является целым числом. Доказательство завершено.

Ответ: 62.

б) $7^{\log_{49}(6-2\sqrt{5})} + 6^{\log_{36}(6+2\sqrt{5})}$

Преобразуем каждое слагаемое, используя свойство логарифма с основанием в виде степени: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Первое слагаемое: $7^{\log_{49}(6-2\sqrt{5})}$.
Основание логарифма $49 = 7^2$. Тогда:
$\log_{49}(6-2\sqrt{5}) = \log_{7^2}(6-2\sqrt{5}) = \frac{1}{2}\log_7(6-2\sqrt{5})$.
Подставим это в исходное выражение:
$7^{\frac{1}{2}\log_7(6-2\sqrt{5})} = (7^{\log_7(6-2\sqrt{5})})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6-2\sqrt{5}}$.
Упростим подкоренное выражение, выделив полный квадрат: $6-2\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{5}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1$ (так как $\sqrt{5} > 1$).

Второе слагаемое: $6^{\log_{36}(6+2\sqrt{5})}$.
Основание логарифма $36 = 6^2$. Тогда:
$\log_{36}(6+2\sqrt{5}) = \log_{6^2}(6+2\sqrt{5}) = \frac{1}{2}\log_6(6+2\sqrt{5})$.
Подставим в выражение:
$6^{\frac{1}{2}\log_6(6+2\sqrt{5})} = (6^{\log_6(6+2\sqrt{5})})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{6+2\sqrt{5}}$.
Упростим подкоренное выражение: $6+2\sqrt{5} = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{5}+1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = |\sqrt{5}+1| = \sqrt{5}+1$.

Теперь сложим полученные значения:
$(\sqrt{5}-1) + (\sqrt{5}+1) = 2\sqrt{5}$.

Полученное значение $2\sqrt{5}$ является иррациональным числом, а не целым. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в основаниях степеней. Если бы выражение выглядело так:
$49^{\log_{49}(6-2\sqrt{5})} + 36^{\log_{36}(6+2\sqrt{5})}$
то, применяя основное логарифмическое тождество, его значение было бы:
$(6-2\sqrt{5}) + (6+2\sqrt{5}) = 12$.
Число 12 является целым. Будем считать, что в задаче имелся в виду именно этот вариант.

Ответ: 12.