Номер 2, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.2. На рисунке 3 изображены графики функций $y=2^x$; $y=0,5^x$; $y=4^x$; $y=3^x$; $y=(\frac{1}{3})^x$.

Точка А имеет координаты:

а) $(x_0; 2^{x_0})$;

б) $(x_0; 0,5^{x_0})$;

в) $(x_0; 4^{x_0})$;

г) $(x_0; 3^{x_0})$;

д) $(x_0; (\frac{1}{3})^{x_0})$.

Выберите правильный ответ.

Рис. 3

Для решения задачи необходимо соотнести каждый график с соответствующей ему функцией. Все предложенные функции являются показательными и имеют вид $y=a^x$.

1. Анализ свойств показательной функции $y=a^x$:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. При этом, чем больше значение $a$, тем быстрее возрастает функция, и ее график при $x > 0$ расположен выше графиков функций с меньшим основанием.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей.
• Все графики функций вида $y=a^x$ (при $a>0, a\neq1$) проходят через точку с координатами $(0, 1)$.

2. Сопоставление функций и графиков:

В задаче даны следующие функции: $y=2^x$, $y=0.5^x$, $y=4^x$, $y=3^x$, $y=(\frac{1}{3})^x$.

• Возрастающие функции: $y=4^x$, $y=3^x$, $y=2^x$. Основания этих функций удовлетворяют неравенству $4 > 3 > 2$. Следовательно, для $x > 0$ их графики будут расположены в следующем порядке (сверху вниз): $y=4^x$, $y=3^x$, $y=2^x$.
• Убывающие функции: $y=0.5^x$ и $y=(\frac{1}{3})^x$. Точка А очевидно лежит на возрастающей функции, так как при $x_0 > 0$ ее ордината больше 1, поэтому графики убывающих функций можно не рассматривать для определения координат точки А.

3. Определение координат точки А:

На рисунке видно, что точка A лежит на графике возрастающей функции. Среди трех графиков возрастающих функций, график, на котором лежит точка A, является средним по высоте.

Согласно нашему анализу, средний график соответствует функции с основанием $a=3$, то есть функции $y=3^x$.

Точка A имеет абсциссу $x_0$. Поскольку она лежит на графике $y=3^x$, ее ордината будет равна $y(x_0) = 3^{x_0}$.

Таким образом, координаты точки A: $(x_0; 3^{x_0})$.

Этот результат соответствует варианту ответа г).

г) $(x_0; 3^{x_0})$ Ответ: