Номер 7, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.7. Найдите множество значений функции:

а) $y = -3^x$;

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^{x-4}$;

в) $y = 3 - 2^x$;

г) $y = 5^{|x|}$.

а) Область значений показательной функции $f(x) = 3^x$ — это все положительные числа, то есть интервал $(0; +\infty)$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $3^x > 0$.

Для функции $y = -3^x$ мы умножаем неравенство $3^x > 0$ на -1, что меняет знак неравенства на противоположный: $-3^x < 0$. Это означает, что $y$ может принимать любые отрицательные значения.

Множество значений функции — это интервал $(-\infty; 0)$.

Ответ: $(-\infty; 0)$.

б) В функции $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^{x-4}$ выражение $\left(\frac{3}{7}\right)^{x-4}$ является показательной функцией. Её значения всегда строго положительны: $\left(\frac{3}{7}\right)^{x-4} > 0$.

Умножение строго положительной величины на положительную константу 5 даёт в результате также строго положительную величину: $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^{x-4} > 0$.

Множество значений функции — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

в) В функции $y = 3 - 2^x$ рассмотрим сначала слагаемое $2^x$. Значения этой показательной функции всегда положительны: $2^x > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1: $-2^x < 0$.

Прибавим 3 к обеим частям неравенства: $3 - 2^x < 3$.

Таким образом, $y < 3$. Множество значений функции — это интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

г) В функции $y = 5^{|x|}$ показатель степени $|x|$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $|x| \ge 0$.

Так как основание степени 5 больше 1, функция $f(t)=5^t$ является возрастающей. Её наименьшее значение на области определения показателя $[0, +\infty)$ достигается при наименьшем значении показателя, то есть при $|x|=0$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $5^0 = 1$. При увеличении $|x|$, значение $y$ неограниченно возрастает.

Множество значений функции — это промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.