Номер 14, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.14. Постройте график функции:

а) $y = 2^{x-|x|}$;

б) $y = 2^{|x-1|} \cdot 0,5^{-x}$.

a) Рассмотрим функцию $y = 2^{x - |x|}$. Для построения её графика необходимо раскрыть модуль $|x|$.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = 2^{x - x} = 2^0 = 1$.

Следовательно, на промежутке $[0, +\infty)$ график функции является горизонтальным лучом $y=1$, который начинается в точке $(0, 1)$ и идет вправо.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = 2^{x - (-x)} = 2^{x + x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ график совпадает с графиком показательной функции $y=4^x$. Этот график проходит через точку $(-1, \frac{1}{4})$ и асимптотически приближается к оси абсцисс при $x \to -\infty$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x \ge 0 \\ 4^x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(0, 1)$, так как $\lim_{x \to 0^-} 4^x = 4^0 = 1$.

Ответ: График функции $y = 2^{x-|x|}$ состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это горизонтальный луч $y=1$, а для $x < 0$ это часть графика показательной функции $y=4^x$.

б) Рассмотрим функцию $y = 2^{|x-1|} \cdot 0.5^{-x}$.

Для начала упростим выражение. Учтём, что $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $0.5^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = 2^{|x-1|} \cdot 2^x = 2^{|x-1| + x}$.

Теперь раскроем модуль $|x-1|$, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-1$.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид:

$y = 2^{(x-1) + x} = 2^{2x-1}$.

На промежутке $[1, +\infty)$ график совпадает с графиком показательной функции $y=2^{2x-1}$. Он начинается в точке $(1, 2)$ и экспоненциально возрастает.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид:

$y = 2^{(1-x) + x} = 2^1 = 2$.

На промежутке $(-\infty, 1)$ график является горизонтальным лучом $y=2$.

Таким образом, функция может быть записана в виде:

$y = \begin{cases} 2^{2x-1}, & \text{если } x \ge 1 \\ 2, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

График состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(1, 2)$, так как при $x=1$ значение первой части $2^{2(1)-1} = 2^1 = 2$, что совпадает со значением второй части.

Ответ: График функции $y = 2^{|x-1|} \cdot 0.5^{-x}$ состоит из двух частей: для $x < 1$ это горизонтальный луч $y=2$, а для $x \ge 1$ это часть графика показательной функции $y=2^{2x-1}$.