Номер 16, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.16. Исследуйте на четность (нечетность) функцию:

a) $y=(7-4\sqrt{3})^x+(7+4\sqrt{3})^x$;

б) $y=\frac{5^x-1}{5^x+1}$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность (нечетность) необходимо выполнить два шага:

1. Найти область определения функции $D(f)$ и проверить, является ли она симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Найти значение функции в точке $-x$, то есть $f(-x)$, и сравнить его с $f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является четной.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является нечетной.
   • Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

1. Область определения.

Функция представляет собой сумму двух показательных функций. Показательная функция $a^x$ определена для всех действительных $x$, если основание $a > 0$.
Проверим основания:

• $7 + 4\sqrt{3} > 0$ - очевидно, так как оба слагаемых положительны.
• $7 - 4\sqrt{3}$. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Так как обе части положительны, можем сравнить их квадраты: $7^2 = 49$, а $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
  Поскольку $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Оба основания положительны, значит, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверка условия четности/нечетности.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (7 - 4\sqrt{3})^{-x} + (7 + 4\sqrt{3})^{-x}$

Заметим, что произведение оснований является разностью квадратов:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$.

Из этого следует, что $7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1}$.

И наоборот, $7 + 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = (7 - 4\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим эти соотношения в выражение для $y(-x)$:

$(7 - 4\sqrt{3})^{-x} = ((7 + 4\sqrt{3})^{-1})^{-x} = (7 + 4\sqrt{3})^{(-1) \cdot (-x)} = (7 + 4\sqrt{3})^x$.

$(7 + 4\sqrt{3})^{-x} = ((7 - 4\sqrt{3})^{-1})^{-x} = (7 - 4\sqrt{3})^{(-1) \cdot (-x)} = (7 - 4\sqrt{3})^x$.

Тогда:

$y(-x) = (7 + 4\sqrt{3})^x + (7 - 4\sqrt{3})^x$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $y(x)$, видим, что они совпадают:

$y(-x) = (7 - 4\sqrt{3})^x + (7 + 4\sqrt{3})^x = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

1. Область определения.

Функция представляет собой дробь. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Знаменатель равен $5^x + 1$. Поскольку показательная функция $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $5^x + 1 > 1$. Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверка условия четности/нечетности.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{5^{-x} - 1}{5^{-x} + 1}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:

$y(-x) = \frac{\frac{1}{5^x} - 1}{\frac{1}{5^x} + 1}$

Чтобы избавиться от "многоэтажной" дроби, умножим числитель и знаменатель на $5^x$:

$y(-x) = \frac{(\frac{1}{5^x} - 1) \cdot 5^x}{(\frac{1}{5^x} + 1) \cdot 5^x} = \frac{1 - 5^x}{1 + 5^x}$

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$.

$y(x) = \frac{5^x - 1}{5^x + 1}$

$y(-x) = \frac{1 - 5^x}{1 + 5^x}$

Очевидно, что $y(-x) \neq y(x)$, значит, функция не является четной.

Теперь проверим, не является ли она нечетной. Для этого сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$-y(x) = -\left(\frac{5^x - 1}{5^x + 1}\right) = \frac{-(5^x - 1)}{5^x + 1} = \frac{-5^x + 1}{5^x + 1} = \frac{1 - 5^x}{5^x + 1}$

Мы видим, что $y(-x) = \frac{1 - 5^x}{1 + 5^x}$ и $-y(x) = \frac{1 - 5^x}{1 + 5^x}$ совпадают.

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.