Номер 23, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.23. Найдите $f'(1)$, если $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^{-x} - e^{-1}$.

Для того чтобы найти значение $f'(1)$, нам необходимо сначала найти производную функции $f(x)$.

Дана функция: $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^{-x} - e^{-1}$.

Эта функция является разностью двух выражений. Производная разности равна разности производных.
Производная второго слагаемого, $e^{-1}$, равна нулю, так как это константа: $(e^{-1})' = 0$.
Для нахождения производной первого слагаемого, $(x^2 - 2x + 2)e^{-x}$, мы применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 2x + 2$ и $v(x) = e^{-x}$.

Найдем производные этих функций:

• Производная $u(x)$:
  $u'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$
• Производная $v(x)$ (используя правило дифференцирования сложной функции):
  $v'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$

Теперь применим правило произведения для нахождения производной $f'(x)$:

$f'(x) = (u'v + uv') - 0$

$f'(x) = (2x - 2)e^{-x} + (x^2 - 2x + 2)(-e^{-x})$

Для упрощения выражения вынесем общий множитель $e^{-x}$ за скобки:

$f'(x) = e^{-x} \left[ (2x - 2) - (x^2 - 2x + 2) \right]$

Раскроем скобки внутри:

$f'(x) = e^{-x} (2x - 2 - x^2 + 2x - 2)$

Приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = e^{-x} (-x^2 + 4x - 4)$

Вынесем знак минус из скобок:

$f'(x) = -e^{-x} (x^2 - 4x + 4)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-2)^2$:

$f'(x) = -e^{-x} (x - 2)^2$

Теперь, когда мы нашли производную, мы можем вычислить ее значение в точке $x=1$:

$f'(1) = -e^{-1} (1 - 2)^2$

$f'(1) = -e^{-1} (-1)^2$

$f'(1) = -e^{-1} \cdot 1$

$f'(1) = -e^{-1}$

Ответ: $-e^{-1}$.