Номер 3, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.3. Решите уравнение:

a) $5^{x - \sqrt{3x - 5}} = 125$;

б) $10^{x - \sqrt{x^2 + 5x + 1}} = 1000$;

в) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$;

г) $(2^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = 64$.

а) Чтобы решить уравнение $5^{x-\sqrt{3x-5}} = 125$, приведем обе части к основанию 5.
$125 = 5^3$, поэтому уравнение принимает вид:
$5^{x-\sqrt{3x-5}} = 5^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x-\sqrt{3x-5} = 3$
Изолируем радикал:
$x-3 = \sqrt{3x-5}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x-5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{3}$. Также результат извлечения арифметического корня должен быть неотрицательным, поэтому $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-3)^2 = (\sqrt{3x-5})^2$
$x^2 - 6x + 9 = 3x - 5$
$x^2 - 9x + 14 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 3$). Корень $x_1=2$ не подходит. Корень $x_2=7$ подходит.
Ответ: 7

б) Чтобы решить уравнение $10^{x-\sqrt{x^2+5x+1}} = 1000$, приведем обе части к основанию 10.
$1000 = 10^3$, поэтому уравнение принимает вид:
$10^{x-\sqrt{x^2+5x+1}} = 10^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x-\sqrt{x^2+5x+1} = 3$
Изолируем радикал:
$x-3 = \sqrt{x^2+5x+1}$
ОДЗ: из условия $x-3 \ge 0$ следует, что $x \ge 3$. (При $x \ge 3$ подкоренное выражение $x^2+5x+1$ всегда положительно).
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$(x-3)^2 = (\sqrt{x^2+5x+1})^2$
$x^2 - 6x + 9 = x^2 + 5x + 1$
$-6x - 5x = 1 - 9$
$-11x = -8$
$x = \frac{8}{11}$
Проверяем корень на принадлежность ОДЗ ($x \ge 3$). Корень $x = \frac{8}{11}$ не удовлетворяет этому условию.
Ответ: нет корней

в) Чтобы решить уравнение $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$, приведем обе части к основанию 3.
$27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Левая часть: $27^{\sqrt{x-1}} = (3^3)^{\sqrt{x-1}} = 3^{3\sqrt{x-1}}$.
Правая часть: $\sqrt{9^{x+1}} = (9^{x+1})^{\frac{1}{2}} = ((3^2)^{x+1})^{\frac{1}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{x+1}{2}} = 3^{x+1}$.
Уравнение принимает вид:
$3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}$
Приравниваем показатели степеней:
$3\sqrt{x-1} = x+1$
ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Возводим обе части в квадрат:
$(3\sqrt{x-1})^2 = (x+1)^2$
$9(x-1) = x^2 + 2x + 1$
$9x - 9 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).
Ответ: 2, 5

г) Чтобы решить уравнение $(2^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = 64$, приведем обе части к основанию 2. (Примечание: В исходном изображении, вероятно, опечатка. Решение приведено для наиболее вероятного правильного условия $(2^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = 64$ вместо $(2^{\sqrt{x}+1})^{\sqrt{x+6}} = 64$)
$64 = 2^6$. Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6}} = 2^6$
$2^{\sqrt{(x+1)(x+6)}} = 2^6$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$
ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ и $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$. Итоговая ОДЗ: $x \ge -1$.
Возводим обе части в квадрат:
$(x+1)(x+6) = 36$
$x^2 + 7x + 6 = 36$
$x^2 + 7x - 30 = 0$
Находим корни квадратного уравнения (например, по формуле корней):
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-30)}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49+120}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 \pm 13}{2}$
$x_1 = \frac{-7+13}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-7-13}{2} = -10$
Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge -1$). Корень $x_1=3$ подходит. Корень $x_2=-10$ не подходит.
Ответ: 3