Номер 7, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.7. Найдите сумму корней уравнения $(\frac{25^x}{125})^x - \frac{125^x}{625} = 0.$

Для решения данного уравнения необходимо привести все числовые основания к общему основанию. В данном случае это число 5, так как $25 = 5^2$, $125 = 5^3$ и $625 = 5^4$.

Исходное уравнение:

$$ \left(\frac{25^x}{125}\right)^x - \frac{125^x}{625} = 0 $$

Перенесем второй член уравнения в правую часть:

$$ \left(\frac{25^x}{125}\right)^x = \frac{125^x}{625} $$

Подставим степени числа 5 в уравнение:

$$ \left(\frac{(5^2)^x}{5^3}\right)^x = \frac{(5^3)^x}{5^4} $$

Теперь применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для упрощения выражения.

Упростим левую часть:

$$ \left(\frac{5^{2x}}{5^3}\right)^x = (5^{2x-3})^x = 5^{(2x-3)x} = 5^{2x^2 - 3x} $$

Упростим правую часть:

$$ \frac{5^{3x}}{5^4} = 5^{3x-4} $$

Теперь уравнение имеет вид:

$$ 5^{2x^2 - 3x} = 5^{3x-4} $$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$ 2x^2 - 3x = 3x - 4 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 2x^2 - 3x - 3x + 4 = 0 $$

$$ 2x^2 - 6x + 4 = 0 $$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$$ x^2 - 3x + 2 = 0 $$

Для нахождения суммы корней этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем случае $p = -3$, следовательно, сумма корней равна:

$$ x_1 + x_2 = -(-3) = 3 $$

Таким образом, сумма корней исходного уравнения равна 3. Можно также найти сами корни, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=2$. Их сумма $1+2=3$.

Ответ: 3