Номер 11, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.11. Найдите все корни уравнения $5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$.

Данное уравнение является показательным. Для его решения преобразуем его к виду, удобному для введения замены.

Исходное уравнение: $$5^{3x+1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, перепишем первое слагаемое: $$5^1 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$5 \cdot 5^{3x} + 34 \cdot 5^{2x} - 7 \cdot 5^x = 0$$

Заметим, что $5^{3x} = (5^x)^3$ и $5^{2x} = (5^x)^2$. Уравнение можно представить в виде: $$5 \cdot (5^x)^3 + 34 \cdot (5^x)^2 - 7 \cdot 5^x = 0$$

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид кубического уравнения относительно $t$: $$5t^3 + 34t^2 - 7t = 0$$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки: $$t(5t^2 + 34t - 7) = 0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $t = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
2) $5t^2 + 34t - 7 = 0$. Решим это квадратное уравнение.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296$$

Найдем корни уравнения для $t$: $$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$t_1 = \frac{-34 + \sqrt{1296}}{2 \cdot 5} = \frac{-34 + 36}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$t_2 = \frac{-34 - \sqrt{1296}}{2 \cdot 5} = \frac{-34 - 36}{10} = \frac{-70}{10} = -7$$

Сравним полученные корни с условием $t > 0$:

• $t_1 = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $t > 0$.
• $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$ и является посторонним корнем.

Таким образом, у нас есть единственное допустимое значение $t = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену: $$5^x = t$$ $$5^x = \frac{1}{5}$$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $$5^x = 5^{-1}$$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $$x = -1$$

Ответ: -1