Номер 16, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.16. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции $y = 3 \cdot 2^{5-3x} - 5 \cdot 2^{3x-3}$ и прямой $y = 7$.

Для нахождения абсцисс (координат $x$) точек пересечения двух графиков, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в этих точках их значения равны.

Приравниваем функцию $y = 3 \cdot 2^{5-3x} - 5 \cdot 2^{3x-3}$ и прямую $y=7$:

$$3 \cdot 2^{5-3x} - 5 \cdot 2^{3x-3} = 7$$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем его, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$$3 \cdot (2^5 \cdot 2^{-3x}) - 5 \cdot (2^{3x} \cdot 2^{-3}) = 7$$

$$3 \cdot 32 \cdot 2^{-3x} - 5 \cdot \frac{1}{2^3} \cdot 2^{3x} = 7$$

$$96 \cdot 2^{-3x} - \frac{5}{8} \cdot 2^{3x} = 7$$

Введем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $t = 2^{3x}$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем ограничение $t > 0$. Тогда $2^{-3x} = (2^{3x})^{-1} = t^{-1} = \frac{1}{t}$.

Подставляем новую переменную в уравнение:

$$96 \cdot \frac{1}{t} - \frac{5}{8} t = 7$$

Умножим обе части уравнения на $8t$, чтобы избавиться от знаменателей (это можно сделать, так как $t \neq 0$):

$$8t \cdot \frac{96}{t} - 8t \cdot \frac{5}{8}t = 7 \cdot 8t$$

$$768 - 5t^2 = 56t$$

Переносим все слагаемые в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$:

$$5t^2 + 56t - 768 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$D = 56^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-768) = 3136 + 15360 = 18496$$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$.

Находим корни для $t$:

$$t_1 = \frac{-56 + 136}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$$

$$t_2 = \frac{-56 - 136}{2 \cdot 5} = \frac{-192}{10} = -19.2$$

Проверяем корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_1 = 8$ подходит. Корень $t_2 = -19.2$ не подходит, так как он отрицательный, поэтому отбрасываем его.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$$2^{3x} = t_1$$

$$2^{3x} = 8$$

Представим число 8 в виде степени с основанием 2:

$$2^{3x} = 2^3$$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$$3x = 3$$

$$x = 1$$

Таким образом, найдена единственная абсцисса точки пересечения.

Ответ: 1