Номер 17, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.17. Решите уравнение:

а) $$4^{x-2} + 4^{x-1} = 80;$

б) $$5^x - 3 \cdot 5^{x-2} = 110;$

в) $$6^{x+1} + 35 \cdot 6^{x-1} = 71;$

г) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = 36;$

д) $$4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60;$

е) $$9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30.$

а) $4^{x-2} + 4^{x-1} = 80$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем левую часть уравнения:

$4^{x-2} = 4^x \cdot 4^{-2} = \frac{4^x}{16}$

$4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac{4^x}{4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{4^x}{16} + \frac{4^x}{4} = 80$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x \left(\frac{1}{16} + \frac{1}{4}\right) = 80$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$4^x \left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 80$

$4^x \cdot \frac{5}{16} = 80$

Теперь выразим $4^x$:

$4^x = 80 \cdot \frac{16}{5}$

$4^x = 16 \cdot 16 = 256$

Представим 256 как степень числа 4: $256 = 4^4$.

$4^x = 4^4$

Отсюда следует, что $x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

б) $5^x - 3 \cdot 5^{x-2} = 110$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5^{x-2} = \frac{5^x}{5^2} = \frac{5^x}{25}$

Подставим это выражение в уравнение:

$5^x - 3 \cdot \frac{5^x}{25} = 110$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \left(1 - \frac{3}{25}\right) = 110$

$5^x \left(\frac{25 - 3}{25}\right) = 110$

$5^x \cdot \frac{22}{25} = 110$

Выразим $5^x$:

$5^x = 110 \cdot \frac{25}{22}$

$5^x = 5 \cdot 25 = 125$

Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.

$5^x = 5^3$

Отсюда $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

в) $6^{x+1} + 35 \cdot 6^{x-1} = 71$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1 = 6 \cdot 6^x$

$6^{x-1} = \frac{6^x}{6^1} = \frac{6^x}{6}$

Подставим в уравнение:

$6 \cdot 6^x + 35 \cdot \frac{6^x}{6} = 71$

Вынесем $6^x$ за скобки:

$6^x \left(6 + \frac{35}{6}\right) = 71$

$6^x \left(\frac{36+35}{6}\right) = 71$

$6^x \cdot \frac{71}{6} = 71$

Выразим $6^x$:

$6^x = 71 \cdot \frac{6}{71}$

$6^x = 6$

Так как $6 = 6^1$, получаем $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = 36$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot 3$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = 36$

Вынесем $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}$ за скобки:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} (3 + 1) = 36$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot 4 = 36$

Разделим обе части на 4:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = 9$

Представим обе части уравнения как степени с основанием 3. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$, получаем:

$(3^{-1})^{5x} = 3^2$

$3^{-5x} = 3^2$

Приравняем показатели степеней:

$-5x = 2$

$x = -\frac{2}{5}$

Ответ: $x = -\frac{2}{5}$.

д) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$

Приведем все степени к основанию 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$.

Уравнение принимает вид:

$2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60$

Используя свойства степеней, вынесем за скобки $2^{2x}$:

$2^{2x} \cdot 2^2 - 2^{2x} \cdot 2^{-2} = 60$

$2^{2x} (2^2 - 2^{-2}) = 60$

$2^{2x} \left(4 - \frac{1}{4}\right) = 60$

$2^{2x} \left(\frac{16-1}{4}\right) = 60$

$2^{2x} \cdot \frac{15}{4} = 60$

Выразим $2^{2x}$:

$2^{2x} = 60 \cdot \frac{4}{15}$

$2^{2x} = 4 \cdot 4 = 16$

Представим 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

$2^{2x} = 2^4$

Приравняем показатели степеней:

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

е) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$

Приведем все степени к основанию 3. Так как $9 = 3^2$, то $9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$.

Уравнение принимает вид:

$3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30$

Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, разложим степени:

$3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^4 = 30$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$3^{2x} (3^2 + 3^4) = 30$

$3^{2x} (9 + 81) = 30$

$3^{2x} \cdot 90 = 30$

Выразим $3^{2x}$:

$3^{2x} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ как степень числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^{2x} = 3^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.