Номер 24, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.24. Найдите произведение корней уравнения $(1/9)^{x^2 - 12 + \sqrt{x^2 - 6}} = 1.$

Исходное уравнение:

Так как любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, а основание $\frac{1}{9} \neq 1$, мы можем приравнять показатель степени к нулю:

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$.

Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 6}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Возведя обе части замены в квадрат, получим $t^2 = x^2 - 6$, откуда выразим $x^2 = t^2 + 6$.

Подставим $t$ и $x^2$ в уравнение:

Упростим полученное выражение:

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Корнями являются:

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

• $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.
• $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t = 2$:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда находим корни уравнения для $x$:

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $x^2 = 10 > 6$.

Требуется найти произведение корней:

Ответ: -10