Номер 28, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.28. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Данное уравнение:

$$5^{\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Для его решения выполним следующие шаги:

1. Упрощение показателя степени.

Воспользуемся известной тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Подставим это выражение в показатель степени в левой части уравнения:

$$5^{\cos(2x) - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

2. Преобразование правой части.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 5. Используя свойства корней и степеней, получаем:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{1/2}} = 5^{-1/2}$$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$$5^{\cos(2x) - 1} = 5^{-1/2}$$

3. Решение показательного уравнения.

Так как основания степеней в обеих частях уравнения одинаковы (равны 5), мы можем приравнять их показатели:

$$\cos(2x) - 1 = -\frac{1}{2}$$

4. Решение тригонометрического уравнения.

Выразим $\cos(2x)$ из полученного уравнения:

$$\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2}$$

$$\cos(2x) = \frac{1}{2}$$

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения находится по формуле:

$$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

5. Поиск наименьшего положительного корня.

Мы имеем две серии корней. Рассмотрим их по отдельности, перебирая целочисленные значения $k$, чтобы найти наименьший корень больше нуля.

Первая серия: $x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi k$

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Это первый положительный корень.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Вторая серия: $x_2 = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{6}$ (отрицательный корень).
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Это также положительный корень.

Среди всех найденных положительных корней $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \dots)$ наименьшим является $\frac{\pi}{6}$.

5.28. Ответ: $\frac{\pi}{6}$