Номер 32, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.32. Найдите все корни уравнения $\sqrt{4 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^{3x} + 3^{4x}} = 6 \cdot 3^x + 9.$

Решим уравнение $\sqrt{4 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^{3x} + 3^{4x}} = 6 \cdot 3^x + 9$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^{3x} + 3^{4x} \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $6 \cdot 3^x + 9 \ge 0$. Так как показательная функция $3^x$ всегда положительна, то $6 \cdot 3^x + 9 > 0$ для любых действительных $x$.

Упростим подкоренное выражение. Вынесем за скобки $3^{2x}$:$4 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^{3x} + 3^{4x} = 3^{2x}(4 - 4 \cdot 3^x + 3^{2x})$Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4 - 4 \cdot 3^x + (3^x)^2 = (3^x - 2)^2$. Следовательно, подкоренное выражение равно $3^{2x}(3^x - 2)^2$. Так как $3^{2x} > 0$ и $(3^x - 2)^2 \ge 0$, их произведение всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Подставим преобразованное выражение в уравнение:

$\sqrt{3^{2x}(3^x - 2)^2} = 6 \cdot 3^x + 9$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|3^x(3^x - 2)| = 6 \cdot 3^x + 9$

Поскольку $3^x > 0$, можем вынести этот множитель из-под знака модуля:

$3^x |3^x - 2| = 6 \cdot 3^x + 9$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t|t - 2| = 6t + 9$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t - 2 \ge 0$, то есть $t \ge 2$.

В этом случае $|t - 2| = t - 2$, и уравнение становится:

$t(t - 2) = 6t + 9$

$t^2 - 2t = 6t + 9$

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $t \ge 2$, следовательно, является решением.

Случай 2: $t - 2 < 0$, то есть $0 < t < 2$.

В этом случае $|t - 2| = -(t - 2) = 2 - t$.

$t(2 - t) = 6t + 9$

$2t - t^2 = 6t + 9$

$t^2 + 4t + 9 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Единственным решением для $t$ является $t=9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Проверка:$\sqrt{4 \cdot 3^{2 \cdot 2} - 4 \cdot 3^{3 \cdot 2} + 3^{4 \cdot 2}} = 6 \cdot 3^2 + 9$
$\sqrt{4 \cdot 3^4 - 4 \cdot 3^6 + 3^8} = 6 \cdot 9 + 9$
$\sqrt{4 \cdot 81 - 4 \cdot 729 + 6561} = 54 + 9$
$\sqrt{324 - 2916 + 6561} = 63$
$\sqrt{3969} = 63$
$63 = 63$

Ответ: 2