Номер 37, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.37. Найдите сумму корней уравнения $x \cdot 5^{x-1} + 5 \cdot 5^{\sqrt{7-x}} = 5^x + x \cdot 5^{\sqrt{7-x}}$.

Для решения данного уравнения выполним следующие преобразования и найдем его корни.

Исходное уравнение:

$$x \cdot 5^{x-1} + 5 \cdot 5^{\sqrt{7-x}} = 5^x + x \cdot 5^{\sqrt{7-x}}$$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении есть квадратный корень $\sqrt{7-x}$, выражение под корнем не может быть отрицательным:

$$7 - x \ge 0 \implies x \le 7$$

Теперь преобразуем само уравнение. Сгруппируем члены, содержащие множитель $x$, в левой части, а остальные — в правой:

$$x \cdot 5^{x-1} - x \cdot 5^{\sqrt{7-x}} = 5^x - 5 \cdot 5^{\sqrt{7-x}}$$

Вынесем общие множители за скобки в обеих частях:

$$x(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}}) = 5 \cdot 5^{x-1} - 5 \cdot 5^{\sqrt{7-x}}$$

$$x(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}}) = 5(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}})$$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем за скобки общий множитель $(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}})$:

$$x(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}}) - 5(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}}) = 0$$

$$(x - 5)(5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}}) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1. Первый множитель равен нулю:

$$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$$

Проверяем этот корень по ОДЗ: $5 \le 7$. Условие выполняется, значит, $x=5$ является корнем уравнения.

2. Второй множитель равен нулю:

$$5^{x-1} - 5^{\sqrt{7-x}} = 0$$

$$5^{x-1} = 5^{\sqrt{7-x}}$$

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$$x - 1 = \sqrt{7-x}$$

Это иррациональное уравнение. Прежде чем возводить в квадрат, необходимо учесть, что левая часть уравнения должна быть неотрицательной (так как она равна значению арифметического квадратного корня):

$$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$$

С учетом ОДЗ ($x \le 7$), получаем, что корень должен принадлежать отрезку $[1, 7]$.

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(x - 1)^2 = (\sqrt{7-x})^2$$

$$x^2 - 2x + 1 = 7 - x$$

$$x^2 - x - 6 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $x_2 = 3$ и $x_3 = -2$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \in [1, 7]$:

• $x_2 = 3$: удовлетворяет условию ($1 \le 3 \le 7$), следовательно, является корнем.
• $x_3 = -2$: не удовлетворяет условию ($-2 < 1$), следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $5$ и $3$.

Сумма корней Ответ: 8