Номер 33, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.33. Решите уравнение, используя свойства функции:

а) $7^x + 24^x = 25^x$;

б) $12^x + 5^x = 13^x$;

в) $5^x = 27 - x$;

г) $3^x + 5x - 1 = 0$;

д) $2^{x+1} = -x - 1,5$;

е) $3^{\frac{x}{2}} = -0,5x + 4$.

а) Исходное уравнение: $7^x + 24^x = 25^x$.
Заметим, что числа 7, 24 и 25 образуют пифагорову тройку, так как $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Это позволяет предположить, что $x=2$ является корнем уравнения. Проверим это: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ $25^2 = 625$ Равенство верно, следовательно, $x=2$ — корень уравнения.
Чтобы доказать, что этот корень единственный, преобразуем уравнение. Разделим обе части на $25^x$ (это выражение всегда положительно): $\frac{7^x}{25^x} + \frac{24^x}{25^x} = 1$ $(\frac{7}{25})^x + (\frac{24}{25})^x = 1$
Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{7}{25})^x + (\frac{24}{25})^x$. Она является суммой двух показательных функций $y_1(x) = (\frac{7}{25})^x$ и $y_2(x) = (\frac{24}{25})^x$. Основания обеих функций ($ \frac{7}{25} $ и $ \frac{24}{25} $) меньше 1, но больше 0. Следовательно, обе функции являются строго убывающими на всей числовой оси. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Таким образом, функция $f(x)$ строго убывает. А это значит, что каждое своё значение она принимает только один раз. Уравнение $f(x) = 1$ может иметь не более одного корня. Поскольку мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением.
Ответ: 2

б) Исходное уравнение: $12^x + 5^x = 13^x$.
Числа 5, 12 и 13 также образуют пифагорову тройку: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Проверкой убеждаемся, что $x=2$ является корнем: $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $13^2 = 169$ Равенство выполняется.
Докажем единственность этого корня. Разделим обе части уравнения на $13^x$ ($13^x > 0$): $(\frac{12}{13})^x + (\frac{5}{13})^x = 1$
Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{12}{13})^x + (\frac{5}{13})^x$. Основания показательных функций $ \frac{12}{13} $ и $ \frac{5}{13} $ находятся в интервале $(0, 1)$, поэтому обе функции являются строго убывающими. Их сумма, функция $f(x)$, также является строго убывающей. Следовательно, уравнение $f(x)=1$ может иметь не более одного решения. Так как мы нашли решение $x=2$, оно является единственным.
Ответ: 2

в) Исходное уравнение: $5^x = 27 - x$.
Рассмотрим две функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 27 - x$. Функция $f(x) = 5^x$ — показательная с основанием $5 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей области определения. Функция $g(x) = 27 - x$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она строго убывает. Уравнение, в котором одна часть является строго возрастающей функцией, а другая — строго убывающей, может иметь не более одного корня (их графики могут пересечься не более чем в одной точке). Найдем этот корень подбором. Проверим целые значения $x$: При $x=2$: Левая часть: $5^2 = 25$ Правая часть: $27 - 2 = 25$ Поскольку $25 = 25$, $x=2$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть решение.
Ответ: 2

г) Исходное уравнение: $3^x + 5x - 1 = 0$.
Перепишем уравнение в виде $3^x = 1 - 5x$. Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 1 - 5x$. Функция $f(x) = 3^x$ является строго возрастающей (основание $3 > 1$). Функция $g(x) = 1 - 5x$ является строго убывающей (линейная с $k=-5$). Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Найдем корень подбором. При $x=0$: Левая часть: $3^0 = 1$ Правая часть: $1 - 5 \cdot 0 = 1$ Равенство $1=1$ верно, значит $x=0$ — корень уравнения. Так как корень может быть только один, это и есть ответ.
Ответ: 0

д) Исходное уравнение: $2^{x+1} = -x - 1.5$.
Рассмотрим функции в левой и правой частях: $f(x) = 2^{x+1}$ и $g(x) = -x - 1.5$. Функция $f(x) = 2 \cdot 2^x$ — строго возрастающая показательная функция. Функция $g(x) = -x - 1.5$ — строго убывающая линейная функция. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Найдем его подбором. Проверим $x=-2$: Левая часть: $2^{-2+1} = 2^{-1} = 0.5$ Правая часть: $-(-2) - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5$ Равенство $0.5 = 0.5$ выполняется, следовательно, $x=-2$ — единственный корень уравнения.
Ответ: -2

е) Исходное уравнение: $3^{\frac{x}{2}} = -0.5x + 4$.
Рассмотрим функции $f(x) = 3^{\frac{x}{2}}$ и $g(x) = -0.5x + 4$. Функцию $f(x)$ можно записать как $f(x) = (\sqrt{3})^x$. Так как основание $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, функция является строго возрастающей. Функция $g(x)$ является линейной с коэффициентом $k=-0.5$, поэтому она строго убывает. Уравнение имеет не более одного решения. Найдем его подбором, для удобства проверяя четные значения $x$. При $x=2$: Левая часть: $3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3$ Правая часть: $-0.5 \cdot 2 + 4 = -1 + 4 = 3$ Так как $3=3$, $x=2$ является единственным решением уравнения.
Ответ: 2