Номер 26, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.26. Решите уравнение:

a) $3^{|\sin x - 2|} = 27;$

б) $5^{|\cos x - 2|} = 125;$

В) $4^{\sin x} + 2^{5 - 2\sin x} = 18;$

Г) $3^{\cos 2x} \cdot (4 \cdot 3^{\sin^2 x} - 9) = 1.$

а) $3^{|\sin x - 2|} = 27$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3:

$27 = 3^3$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$3^{|\sin x - 2|} = 3^3$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$|\sin x - 2| = 3$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $\sin x - 2 = 3$

$\sin x = 5$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$.

2) $\sin x - 2 = -3$

$\sin x = -1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $5^{|\cos x - 2|} = 125$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 5:

$125 = 5^3$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$5^{|\cos x - 2|} = 5^3$

Приравниваем показатели степеней:

$|\cos x - 2| = 3$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $\cos x - 2 = 3$

$\cos x = 5$

Уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$.

2) $\cos x - 2 = -3$

$\cos x = -1$

Решением этого уравнения является:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $4^{\sin x} + 2^{5 - 2\sin x} = 18$

Приведем все степени к одному основанию 2. Используем свойства степеней $a^{mn} = (a^m)^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4^{\sin x} = (2^2)^{\sin x} = 2^{2\sin x}$

$2^{5 - 2\sin x} = \frac{2^5}{2^{2\sin x}} = \frac{32}{2^{2\sin x}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{2\sin x} + \frac{32}{2^{2\sin x}} = 18$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2\sin x}$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-2 \le 2\sin x \le 2$, и значит $2^{-2} \le t \le 2^2$, то есть $\frac{1}{4} \le t \le 4$.

Уравнение с новой переменной:

$t + \frac{32}{t} = 18$

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$):

$t^2 + 32 = 18t$

$t^2 - 18t + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 16$.

Проверим корни на соответствие условию $\frac{1}{4} \le t \le 4$:

$t_1 = 2$ — удовлетворяет условию.

$t_2 = 16$ — не удовлетворяет условию ($16 > 4$).

Возвращаемся к исходной переменной с $t=2$:

$2^{2\sin x} = 2$

$2^{2\sin x} = 2^1$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения можно записать в общей форме:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $3^{\cos 2x} \cdot (4 \cdot 3^{\sin^2 x} - 9) = 1$

Используем тригонометрическое тождество $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$3^{1 - 2\sin^2 x} \cdot (4 \cdot 3^{\sin^2 x} - 9) = 1$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{3^1}{3^{2\sin^2 x}} \cdot (4 \cdot 3^{\sin^2 x} - 9) = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $3^0 \le y \le 3^1$, то есть $1 \le y \le 3$.

Заметим, что $3^{2\sin^2 x} = (3^{\sin^2 x})^2 = y^2$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{3}{y^2} \cdot (4y - 9) = 1$

Поскольку $y \ge 1$, $y^2 \ne 0$. Умножим обе части на $y^2$:

$3(4y - 9) = y^2$

$12y - 27 = y^2$

$y^2 - 12y + 27 = 0$

Решим квадратное уравнение. Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие условию $1 \le y \le 3$:

$y_1 = 3$ — удовлетворяет условию.

$y_2 = 9$ — не удовлетворяет условию ($9 > 3$).

Возвращаемся к исходной переменной с $y=3$:

$3^{\sin^2 x} = 3$

$3^{\sin^2 x} = 3^1$

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение равносильно тому, что $\cos x = 0$.

Решением уравнения $\cos x = 0$ является:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.