Номер 38, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.38. Решите уравнение:

a) $\sqrt[7]{2^{x-5}} = (\sqrt{3-2\sqrt{2}}+1)^{3x+1}$

б) $\sqrt[10]{6^{7x-1}} - (\sqrt{7+2\sqrt{6}}-1)^{2x-5} = 0$

а) Исходное уравнение:

$$ \sqrt[7]{2^{x-5}} = (\sqrt{3-2\sqrt{2}} + 1)^{3x-1} $$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство корня $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:

$$ \sqrt[7]{2^{x-5}} = 2^{\frac{x-5}{7}} $$

Теперь упростим выражение в скобках в правой части. Рассмотрим подкоренное выражение $ 3-2\sqrt{2} $. Его можно представить в виде квадрата разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Пусть $ a^2+b^2=3 $ и $ 2ab=2\sqrt{2} $, откуда $ ab=\sqrt{2} $. Подбором находим, что $ a=\sqrt{2} $ и $ b=1 $. Проверяем: $ a^2+b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2+1=3 $. Верно.

Следовательно, $ 3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 $.

Тогда $ \sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1| $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \sqrt{2}-1 > 0 $, и модуль можно опустить: $ \sqrt{2}-1 $.

Подставим это в правую часть исходного уравнения:

$$ (\sqrt{3-2\sqrt{2}} + 1)^{3x-1} = ((\sqrt{2}-1) + 1)^{3x-1} = (\sqrt{2})^{3x-1} $$

Представим $ \sqrt{2} $ как $ 2^{\frac{1}{2}} $:

$$ (\sqrt{2})^{3x-1} = (2^{\frac{1}{2}})^{3x-1} = 2^{\frac{3x-1}{2}} $$

Теперь уравнение имеет вид:

$$ 2^{\frac{x-5}{7}} = 2^{\frac{3x-1}{2}} $$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$$ \frac{x-5}{7} = \frac{3x-1}{2} $$

Решим полученное линейное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$$ 2(x-5) = 7(3x-1) $$

$$ 2x - 10 = 21x - 7 $$

$$ 21x - 2x = -10 + 7 $$

$$ 19x = -3 $$

$$ x = -\frac{3}{19} $$

Ответ: $ x = -\frac{3}{19} $.

б) Исходное уравнение:

$$ \sqrt[10]{6^{7x-1}} - (\sqrt{7+2\sqrt{6}} - 1)^{2x-5} = 0 $$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$$ \sqrt[10]{6^{7x-1}} = (\sqrt{7+2\sqrt{6}} - 1)^{2x-5} $$

Преобразуем левую часть уравнения:

$$ \sqrt[10]{6^{7x-1}} = 6^{\frac{7x-1}{10}} $$

Теперь упростим выражение в скобках в правой части. Рассмотрим подкоренное выражение $ 7+2\sqrt{6} $. Его можно представить в виде квадрата суммы по формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Пусть $ a^2+b^2=7 $ и $ 2ab=2\sqrt{6} $, откуда $ ab=\sqrt{6} $. Подбором находим, что $ a=\sqrt{6} $ и $ b=1 $. Проверяем: $ a^2+b^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6+1=7 $. Верно.

Следовательно, $ 7+2\sqrt{6} = (\sqrt{6}+1)^2 $.

Тогда $ \sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+1)^2} = |\sqrt{6}+1| $. Так как $ \sqrt{6}+1 > 0 $, то модуль можно опустить: $ \sqrt{6}+1 $.

Подставим это в правую часть уравнения:

$$ (\sqrt{7+2\sqrt{6}} - 1)^{2x-5} = ((\sqrt{6}+1) - 1)^{2x-5} = (\sqrt{6})^{2x-5} $$

Представим $ \sqrt{6} $ как $ 6^{\frac{1}{2}} $:

$$ (\sqrt{6})^{2x-5} = (6^{\frac{1}{2}})^{2x-5} = 6^{\frac{2x-5}{2}} $$

Теперь уравнение имеет вид:

$$ 6^{\frac{7x-1}{10}} = 6^{\frac{2x-5}{2}} $$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$$ \frac{7x-1}{10} = \frac{2x-5}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 7x-1 = 5(2x-5) $$

$$ 7x-1 = 10x - 25 $$

$$ 10x - 7x = -1 + 25 $$

$$ 3x = 24 $$

$$ x = \frac{24}{3} $$

$$ x = 8 $$

Ответ: $ x = 8 $.