Номер 42, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.42. Найдите значение выражения $3^m$, где $m$ — сумма корней уравнения $12^x + 6^x - 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 3^x - 2^{x+1} + 4 = 0$.

Для нахождения значения выражения сначала необходимо решить данное уравнение и найти сумму его корней $m$.

Исходное уравнение:

$$12^x + 6^x - 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 3^x - 2^{x+1} + 4 = 0$$

1. Упрощение уравнения

Представим члены уравнения через степени с основаниями 2 и 3:

• $12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot (2^2)^x = 3^x \cdot (2^x)^2$
• $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
• $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
• $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$$3^x(2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2(2^x)^2 - 2 \cdot 3^x - 2 \cdot 2^x + 4 = 0$$

Сгруппируем слагаемые методом вынесения общего множителя. Сначала сгруппируем члены, содержащие $3^x$, а затем оставшиеся:

$$(3^x(2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x) + (-2(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 4) = 0$$

Вынесем $3^x$ из первой скобки и $-2$ из второй:

$$3^x((2^x)^2 + 2^x - 2) - 2((2^x)^2 + 2^x - 2) = 0$$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $((2^x)^2 + 2^x - 2)$:

$$((2^x)^2 + 2^x - 2)(3^x - 2) = 0$$

2. Нахождение корней

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

Уравнение 1:

$$(2^x)^2 + 2^x - 2 = 0$$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.

$$t^2 + t - 2 = 0$$

Используя теорему Виета (или решив через дискриминант), находим корни квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не подходит, так как $t = 2^x$ должно быть положительным.

Возвращаемся к замене с $t_1 = 1$:

$$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0$$

Уравнение 2:

$$3^x - 2 = 0$$

$$3^x = 2$$

По определению логарифма, находим второй корень:

$$x_2 = \log_3 2$$

3. Вычисление значения выражения $3^m$

Сумма корней уравнения $m$ равна:

$$m = x_1 + x_2 = 0 + \log_3 2 = \log_3 2$$

Теперь найдем значение выражения $3^m$:

$$3^m = 3^{\log_3 2}$$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$$3^{\log_3 2} = 2$$

Найдите значение выражения $3^m$, где $m$ — сумма корней уравнения Ответ: 2