gdz.by
Номер 46, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко
Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.
Тип: Сборник задач
Издательство: Народная асвета
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый и повышенный
Цвет обложки: белый с графиком
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 2. Показательная функция. Параграф 5. Показательные уравнения - номер 46, страница 34.
№45
№46 (с. 34)
Условие. №46 (с. 34)
скриншот условия
5.46. Решите систему уравнений
$\begin{cases}\frac{6}{2^{1-x}} + 2 \cdot 3^{y+1} = 21, \\5 \cdot 2^{x+2} - \frac{18}{3^{2-y}} = 56.\end{cases}$
Решение. №46 (с. 34)
Решение 2. №46 (с. 34)
Решим данную систему уравнений:
$$\begin{cases}\frac{6}{2^{1-x}} + 2 \cdot 3^{y+1} = 21 \\5 \cdot 2^{x+2} - \frac{18}{3^{2-y}} = 56\end{cases}$$Для начала преобразуем уравнения системы, используя свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
Первое уравнение:
$$ \frac{6}{2^1 \cdot 2^{-x}} + 2 \cdot (3^y \cdot 3^1) = 21 $$Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$$ \frac{6 \cdot 2^x}{2} + 6 \cdot 3^y = 21 $$$$ 3 \cdot 2^x + 6 \cdot 3^y = 21 $$Разделим обе части уравнения на 3:
$$ 2^x + 2 \cdot 3^y = 7 $$Теперь преобразуем второе уравнение:
$$ 5 \cdot (2^x \cdot 2^2) - \frac{18}{\frac{3^2}{3^y}} = 56 $$$$ 5 \cdot 4 \cdot 2^x - \frac{18 \cdot 3^y}{9} = 56 $$$$ 20 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^y = 56 $$Разделим обе части уравнения на 2:
$$ 10 \cdot 2^x - 3^y = 28 $$Таким образом, мы получили эквивалентную систему, которая выглядит проще:
$$\begin{cases}2^x + 2 \cdot 3^y = 7 \\10 \cdot 2^x - 3^y = 28\end{cases}$$Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $a > 0$ и $b > 0$.
Система примет вид:
$$\begin{cases}a + 2b = 7 \\10a - b = 28\end{cases}$$Решим эту систему линейных уравнений. Из второго уравнения выразим $b$:
$$ b = 10a - 28 $$Подставим это выражение в первое уравнение:
$$ a + 2(10a - 28) = 7 $$$$ a + 20a - 56 = 7 $$$$ 21a = 63 $$$$ a = \frac{63}{21} $$$$ a = 3 $$Теперь найдем $b$, подставив значение $a$:
$$ b = 10 \cdot 3 - 28 = 30 - 28 = 2 $$Полученные значения $a=3$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
Так как $a = 2^x$, получаем:
$$ 2^x = 3 $$По определению логарифма:
$$ x = \log_2 3 $$Так как $b = 3^y$, получаем:
$$ 3^y = 2 $$По определению логарифма:
$$ y = \log_3 2 $$x: Ответ: $ \log_2 3 $
y: Ответ: $ \log_3 2 $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @gdz_by_belarus
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 46 расположенного на странице 34 к сборнику задач 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №46 (с. 34), авторов: Арефьева (Ирина Глебовна), Пирютко (Ольга Николаевна), базовый и повышенный уровень обучения учебного пособия издательства Народная асвета.