Номер 50, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.50. Найдите произведение корней уравнения

$9^x - (14 - x) \cdot 3^x - 3x + 33 = 0.$

Рассмотрим данное уравнение:

$9^x - (14-x) \cdot 3^x - 3x + 33 = 0$

Для его решения выполним преобразования. Поскольку $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, уравнение можно переписать в виде:

$(3^x)^2 - (14-x) \cdot 3^x - 3x + 33 = 0$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(3^x)^2 - 14 \cdot 3^x + x \cdot 3^x - 3x + 33 = 0$

$((3^x)^2 - 14 \cdot 3^x + 33) + (x \cdot 3^x - 3x) = 0$

Теперь разложим на множители каждую из групп. Выражение в первой скобке является квадратным трехчленом относительно $3^x$. Его можно разложить как $(3^x - 3)(3^x - 11)$. Во второй скобке вынесем общий множитель $x$ и получим $x(3^x - 3)$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$(3^x - 3)(3^x - 11) + x(3^x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(3^x - 3)$ за скобку:

$(3^x - 3)( (3^x - 11) + x ) = 0$

$(3^x - 3)(3^x + x - 11) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам совокупность двух уравнений:

1. $3^x - 3 = 0$
2. $3^x + x - 11 = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

Из первого уравнения получаем:

$3^x = 3^1 \implies x_1 = 1$.

Второе уравнение, $3^x + x - 11 = 0$, является трансцендентным. Его корень можно найти подбором. Проверим значение $x=2$:

$3^2 + 2 - 11 = 9 + 2 - 11 = 0$.

Следовательно, $x_2 = 2$ — второй корень уравнения. Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + x - 11$. Ее производная $f'(x) = 3^x \ln(3) + 1$ всегда положительна ($f'(x) > 1$), значит, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси и может иметь не более одного корня.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Произведение найденных корней равно: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2