Номер 49, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.49. Найдите количество корней уравнения $\sqrt{6x-x^2-5} \cdot (3 \cdot 5^{2\sin x - 1} - 2 \cdot 5^{\sin x - 1} - 0.2) = 0$.

Данное уравнение имеет вид $A \cdot B = 0$, где $A = \sqrt{6x - x^2 - 5}$ и $B = 3 \cdot 5^{2\sin x - 1} - 2 \cdot 5^{\sin x - 1} - 0.2$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$6x - x^2 - 5 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 6x + 5 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Так как парабола $y = x^2 - 6x + 5$ ветвями направлена вверх, неравенство $x^2 - 6x + 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [1, 5]$.

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю.

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$\sqrt{6x - x^2 - 5} = 0 \implies 6x - x^2 - 5 = 0 \implies x^2 - 6x + 5 = 0$

Корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Оба этих значения принадлежат ОДЗ. Следовательно, $x=1$ и $x=5$ являются корнями исходного уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$3 \cdot 5^{2\sin x - 1} - 2 \cdot 5^{\sin x - 1} - 0.2 = 0$

Преобразуем уравнение, представив $0.2$ как $\frac{1}{5}$ и используя свойства степеней:

$3 \cdot \frac{5^{2\sin x}}{5} - 2 \cdot \frac{5^{\sin x}}{5} - \frac{1}{5} = 0$

Умножим обе части уравнения на 5:

$3 \cdot (5^{\sin x})^2 - 2 \cdot 5^{\sin x} - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{\sin x}$. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то $5^{-1} \le t \le 5^1$, то есть $t \in [\frac{1}{5}, 5]$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 2t - 1 = 0$.

Корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{3}$. Корень $t_2$ не подходит, так как $t$ должно быть положительным. Корень $t_1 = 1$ подходит, так как входит в отрезок $[\frac{1}{5}, 5]$.

Вернемся к исходной переменной: $5^{\sin x} = 1 \implies 5^{\sin x} = 5^0 \implies \sin x = 0$.

Решениями этого уравнения являются $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Необходимо найти те корни вида $x = k\pi$, которые принадлежат ОДЗ, то есть отрезку $[1, 5]$.

$1 \le k\pi \le 5 \implies \frac{1}{\pi} \le k \le \frac{5}{\pi}$.

Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $0.318 \dots \le k \le 1.592 \dots$.

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=1$. Отсюда получаем корень $x = \pi$.

Соберем все найденные различные корни: $x=1$, $x=5$ и $x=\pi$.

Таким образом, исходное уравнение имеет 3 корня.