Номер 53, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.53. Решите уравнение:

a) $3^x + 5^x = 2^{3x}$;

б) $2^x + 3^x + 4^x = 29.

а) Исходное уравнение: $3^x + 5^x = 2^{3x}$.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3x} = (2^3)^x = 8^x$.

Теперь уравнение принимает вид: $3^x + 5^x = 8^x$.

Можно заметить, что $x=1$ является корнем данного уравнения, так как при подстановке этого значения получается верное равенство: $3^1 + 5^1 = 3 + 5 = 8$ $8^1 = 8$ $8 = 8$.

Докажем, что этот корень единственный. Для этого разделим обе части уравнения на $8^x$. Так как $8^x > 0$ для любого действительного $x$, это преобразование является равносильным. $\frac{3^x}{8^x} + \frac{5^x}{8^x} = \frac{8^x}{8^x}$

Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем: $(\frac{3}{8})^x + (\frac{5}{8})^x = 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{3}{8})^x + (\frac{5}{8})^x$. Левая часть уравнения представляет собой сумму двух показательных функций $y_1(x) = (\frac{3}{8})^x$ и $y_2(x) = (\frac{5}{8})^x$. Так как основания обеих функций ($ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{8} $) находятся в интервале $(0; 1)$, обе функции являются строго убывающими. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией.

Строго монотонная функция может принимать каждое своё значение только один раз. Мы уже нашли, что при $x=1$ значение функции равно 1. Следовательно, других корней у уравнения нет.

Ответ: 1

б) Исходное уравнение: $2^x + 3^x + 4^x = 29$.

Данное уравнение решается подбором с последующим доказательством единственности корня. Проверим небольшие целые значения $x$.

• При $x = 1$: $2^1 + 3^1 + 4^1 = 2 + 3 + 4 = 9$. Это не равно 29.
• При $x = 2$: $2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29$. Это верное равенство.

Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения.

Докажем, что этот корень единственный. Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = 2^x + 3^x + 4^x$.

Эта функция является суммой трёх показательных функций: $y_1(x) = 2^x$, $y_2(x) = 3^x$ и $y_3(x) = 4^x$. Основания всех этих функций (2, 3 и 4) больше 1, поэтому каждая из них является строго возрастающей на всей области определения. Сумма трёх строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает, она принимает каждое своё значение ровно один раз. Мы уже нашли, что $f(2)=29$. Следовательно, $x=2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: 2