Номер 3, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.3. Найдите все значения переменной, при которых значение данного выражения не больше единицы:

а) $7^{x^2-25}$;

б) $(\sqrt{2})^{5x^2-x}$;

в) $e^{x^3-x}$;

г) $\pi^{4x^3-x^2}$.

а) Для того чтобы найти значения переменной, при которых выражение $7^{x^2 - 25}$ не больше единицы, решим неравенство:
$7^{x^2 - 25} \le 1$
Представим единицу как $7^0$:
$7^{x^2 - 25} \le 7^0$
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, неравенство для степеней равносильно неравенству для показателей:
$x^2 - 25 \le 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 5)(x + 5) \le 0$
Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Парабола $y = x^2 - 25$ ветвями вверх, значит, отрицательные значения находятся между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-5 \le x \le 5$.
Ответ: $x \in [-5, 5]$.

б) Решим неравенство $(\sqrt{2})^{5x^2 - x} \le 1$.
Представим единицу как $(\sqrt{2})^0$:
$(\sqrt{2})^{5x^2 - x} \le (\sqrt{2})^0$
Основание степени $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Поэтому показательная функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству для показателей:
$5x^2 - x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 1) \le 0$
Корни соответствующего уравнения $x(5x - 1) = 0$ это $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{5}$. Парабола $y = 5x^2 - x$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая сами корни).
Решение: $0 \le x \le \frac{1}{5}$.
Ответ: $x \in [0, \frac{1}{5}]$.

в) Решим неравенство $e^{x^3 - x} \le 1$.
Представим единицу как $e^0$:
$e^{x^3 - x} \le e^0$
Основание степени $e \approx 2.718$, что больше 1. Показательная функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей:
$x^3 - x \le 0$
Разложим левую часть на множители:
$x(x^2 - 1) \le 0$
$x(x - 1)(x + 1) \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $x(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Проверим знаки выражения $f(x) = x(x - 1)(x + 1)$ на этих интервалах:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $2(1)(3) > 0$.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $0.5(-0.5)(1.5) < 0$.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $-0.5(-1.5)(0.5) > 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $-2(-3)(-1) < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.

г) Решим неравенство $\pi^{4x^3 - x^2} \le 1$.
Представим единицу как $\pi^0$:
$\pi^{4x^3 - x^2} \le \pi^0$
Основание степени $\pi \approx 3.141$, что больше 1. Показательная функция возрастающая, поэтому неравенство равносильно неравенству для показателей:
$4x^3 - x^2 \le 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(4x - 1) \le 0$
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, знак всего выражения определяется знаком множителя $(4x-1)$ (кроме случая $x=0$).
Неравенство будет выполняться в двух случаях:
1) Когда произведение равно нулю, то есть $x^2=0$ или $4x-1=0$. Это происходит при $x=0$ и $x=\frac{1}{4}$.
2) Когда произведение отрицательно. Так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$, для отрицательности произведения необходимо, чтобы $4x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{4}$.
Объединяя эти условия, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$, которые меньше или равны $\frac{1}{4}$.
Решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{4}]$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{4}]$.