Номер 8, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.8. Решите неравенство:

a) $0,3^{\frac{x^2-16}{x-5}} < 1;$

б) $(\frac{8}{9})^{\frac{x+7}{x^2-4}} \ge 1.$

a) Исходное показательное неравенство:

$$0.3^{\frac{x^2 - 16}{x - 5}} < 1$$

Представим число 1 в виде степени с основанием 0,3, чтобы привести обе части неравенства к одному основанию:

$$1 = 0.3^0$$

Теперь неравенство имеет вид:

$$0.3^{\frac{x^2 - 16}{x - 5}} < 0.3^0$$

Основание степени $a = 0.3$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$\frac{x^2 - 16}{x - 5} > 0$$

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Сначала разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 5} > 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя. Эти точки разобьют числовую прямую на интервалы.

• Нули числителя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
• Нуль знаменателя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Поскольку неравенство строгое ($>$), все точки ($ -4, 4, 5 $) будут "выколотыми" на числовой прямой. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов:

Выбираем интервалы, на которых выражение положительно (отмечены знаком "+").

Ответ: $x \in (-4, 4) \cup (5, +\infty)$.

б) Исходное показательное неравенство:

$$(\frac{8}{9})^{\frac{x+7}{x^2-4}} \ge 1$$

Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{8}{9}$:

$$1 = (\frac{8}{9})^0$$

Неравенство принимает вид:

$$(\frac{8}{9})^{\frac{x+7}{x^2-4}} \ge (\frac{8}{9})^0$$

Основание степени $a = \frac{8}{9}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$$\frac{x+7}{x^2-4} \le 0$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x+7}{(x-2)(x+2)} \le 0$$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

• Нуль числителя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет "закрашенной".
• Нули знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Точки, обращающие знаменатель в ноль, всегда "выколотые", так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки $-7$, $-2$, $2$ на числовой прямой и определим знак выражения на каждом интервале:

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю (отмечены знаком "-"), включая "закрашенную" точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, 2)$.