Номер 13, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.13. Найдите наименьшее целое решение неравенства

$2^{-3x+1} - 4^{-x} \cdot 7 - 2^{-x+2} < 0.$

Для решения данного показательного неравенства приведем все его члены к одному основанию.

Исходное неравенство:

$$2^{-3x+1} - 4^{-x} \cdot 7 - 2^{-x+2} < 0$$

Преобразуем каждый член неравенства, используя свойства степеней:

• $2^{-3x+1} = 2^{-3x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^{-x})^3$
• $4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} = (2^{-x})^2$
• $2^{-x+2} = 2^{-x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{-x}$

Подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:

$$2 \cdot (2^{-x})^3 - 7 \cdot (2^{-x})^2 - 4 \cdot 2^{-x} < 0$$

Введем замену переменной для упрощения. Пусть $t = 2^{-x}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$$2t^3 - 7t^2 - 4t < 0$$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$$t(2t^2 - 7t - 4) < 0$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$, чтобы разложить на множители квадратный трехчлен. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни:

$$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

Таким образом, неравенство можно представить в виде:

$$2t(t - 4)(t + \frac{1}{2}) < 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки, в которых выражение равно нулю: $t = -\frac{1}{2}$, $t = 0$, $t = 4$.

Определяем знаки выражения на интервалах:

• При $t > 4$ (например, $t=5$): $2 \cdot 5 \cdot (5-4) \cdot (5+0.5) > 0$.
• При $0 < t < 4$ (например, $t=1$): $2 \cdot 1 \cdot (1-4) \cdot (1+0.5) < 0$.
• При $-\frac{1}{2} < t < 0$ (например, $t=-0.1$): $2 \cdot (-0.1) \cdot (-0.1-4) \cdot (-0.1+0.5) > 0$.
• При $t < -\frac{1}{2}$ (например, $t=-1$): $2 \cdot (-1) \cdot (-1-4) \cdot (-1+0.5) < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля, то есть $t \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; 4)$.

Вспомним наше ограничение $t > 0$. С учетом этого ограничения, решением для $t$ является интервал:

$$0 < t < 4$$

Теперь выполним обратную замену $t = 2^{-x}$:

$$0 < 2^{-x} < 4$$

Это двойное неравенство можно разбить на два: $2^{-x} > 0$ и $2^{-x} < 4$.

Первое неравенство, $2^{-x} > 0$, верно для любого действительного числа $x$.

Решим второе неравенство: $2^{-x} < 4$.

Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$$2^{-x} < 2^2$$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:

$$-x < 2$$

Умножим обе части неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$$x > -2$$

Решением неравенства является множество всех чисел, больших -2, то есть интервал $(-2; +\infty)$.

В задаче требуется найти наименьшее целое решение. Наименьшее целое число, которое больше -2, это -1.

Найдите наименьшее целое решение неравенства. Ответ: -1