Номер 20, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.20. Решите неравенство $3^{x+1} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} < 10,5$

Данное неравенство является показательным. Для его решения преобразуем левую часть, используя свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

Исходное неравенство:

$$3^{x+1} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{2-x} < 10,5$$

Распишем каждый член левой части:

$$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$$

$$2^{1-x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$$

$$2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x}$$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$$(3 \cdot 3^x) \cdot \left(\frac{2}{2^x}\right) + 3^x \cdot \left(\frac{4}{2^x}\right) < 10,5$$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степенные функции:

$$6 \cdot \frac{3^x}{2^x} + 4 \cdot \frac{3^x}{2^x} < 10,5$$

Используем свойство $\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m$:

$$6 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x < 10,5$$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ за скобки:

$$(6 + 4) \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x < 10,5$$

$$10 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x < 10,5$$

Разделим обе части неравенства на 10:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{10,5}{10}$$

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x < 1,05$$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$$1,05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20}$$

Получаем простое показательное неравенство:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{21}{20}$$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Применим логарифм по основанию $\frac{3}{2}$ к обеим частям неравенства, при этом знак неравенства сохранится:

$$\log_{\frac{3}{2}}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right) < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{21}{20}\right)$$

По определению логарифма, $\log_a(a^b) = b$, поэтому:

$$x < \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{21}{20}\right)$$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{21}{20}\right)\right)$