Номер 24, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.24. Решите двойное неравенство:

a) $0.5 < 2^{1-2x} < 128;$

б) $\frac{1}{9} < \left(\frac{1}{3}\right)^{x-3} < 27.$

a) Решим двойное неравенство $0,5 < 2^{1-2x} < 128$.
Для этого приведем все его части к одному основанию, равному 2. Мы знаем, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $128 = 2^7$.

Подставив эти значения, получаем неравенство: $2^{-1} < 2^{1-2x} < 2^7$

Поскольку основание степени $a=2$ больше 1, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степени сохраняется тот же знак неравенства: $-1 < 1-2x < 7$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Сначала вычтем 1 из всех частей: $-1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 7 - 1$
$-2 < -2x < 6$

Затем разделим все части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $\frac{-2}{-2} > \frac{-2x}{-2} > \frac{6}{-2}$
$1 > x > -3$

Запишем ответ в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания: $-3 < x < 1$.
В виде интервала это записывается как $x \in (-3; 1)$.

Ответ: $(-3; 1)$

б) Решим двойное неравенство $\frac{1}{9} < (\frac{1}{3})^{x-3} < 27$.
Приведем все его части к одному основанию, равному $\frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$ и $27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$.

Подставив эти значения, получаем неравенство: $(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^{x-3} < (\frac{1}{3})^{-3}$

Поскольку основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства необходимо изменить на противоположные: $2 > x-3 > -3$

Решим полученное двойное линейное неравенство. Прибавим 3 ко всем частям: $2 + 3 > x - 3 + 3 > -3 + 3$
$5 > x > 0$

Запишем ответ в стандартном виде: $0 < x < 5$.
В виде интервала это записывается как $x \in (0; 5)$.

Ответ: $(0; 5)$