Номер 30, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.30. Решите неравенство:

a) $0,2 < 5^{|x+1|} < 125;$

б) $0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \cdot \sqrt{20} \ge \sqrt{5};$

в) $2x \cdot 7^{x-1} \ge |x|;$

г) $|2^{4x^2-1} - 5| \le 3;$

д) $\frac{3^{2|x-1|} + 3}{4} < 3^{|x-1|};$

e) $0,2^{\left|\frac{x-1}{x+3}\right|} < \frac{1}{25}.$

а) Исходное неравенство: $0,2 < 5^{|x+1|} < 125$.
Приведем все части двойного неравенства к одному основанию, в данном случае к 5.
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$125 = 5^3$
Подставляя эти значения, получаем:
$5^{-1} < 5^{|x+1|} < 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что мы можем перейти к неравенству для показателей степени, сохранив знаки неравенства:
$-1 < |x+1| < 3$
Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} |x+1| > -1 \\ |x+1| < 3 \end{cases}$
Рассмотрим первое неравенство: $|x+1| > -1$. Модуль любого действительного числа по определению неотрицателен ($|a| \ge 0$), поэтому он всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in R$.
Рассмотрим второе неравенство: $|x+1| < 3$. Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
$-3 < x+1 < 3$
Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-3 - 1 < x < 3 - 1$
$-4 < x < 2$
Решением исходного неравенства является пересечение решений обоих неравенств системы, то есть $x \in (-\infty, +\infty) \cap (-4, 2)$, что дает интервал $(-4, 2)$.
Ответ: $x \in (-4, 2)$.

б) Исходное неравенство: $0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \cdot \sqrt{20} \ge \sqrt{5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
Упростим неравенство. Заметим, что $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
$0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \cdot 2\sqrt{5} \ge \sqrt{5}$
Разделим обе части неравенства на $\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, знак неравенства не меняется.
$0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \cdot 2 \ge 1$
$0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \ge \frac{1}{2}$
Представим правую часть в виде степени с основанием 0,5: $\frac{1}{2} = 0,5^1$.
$0,5^{\frac{|2x-1|}{x-3}} \ge 0,5^1$
Так как основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{|2x-1|}{x-3} \le 1$
Это неравенство решаем методом интервалов, рассматривая два случая:
1. Если $x-3 > 0$ (т.е. $x > 3$), то можно умножить обе части на $x-3$, сохранив знак неравенства: $|2x-1| \le x-3$. Это равносильно системе $\begin{cases} 2x-1 \le x-3 \\ 2x-1 \ge -(x-3) \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \le -2 \\ x \ge 4/3 \end{cases}$. Эта система не имеет решений, значит, при $x>3$ решений нет.
2. Если $x-3 < 0$ (т.е. $x < 3$), то при умножении на $x-3$ знак неравенства меняется на противоположный: $|2x-1| \ge x-3$. Поскольку при $x<3$ правая часть $x-3$ отрицательна, а левая часть $|2x-1|$ всегда неотрицательна, это неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 3$.
Таким образом, решением является интервал $(-\infty, 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

в) Исходное неравенство: $2x \cdot 7^{x-1} \ge |x|$.
Рассмотрим три случая в зависимости от знака $x$.
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид: $2x \cdot 7^{x-1} \ge x$.
Поскольку $x > 0$, можно разделить обе части на $x$, не меняя знака неравенства: $2 \cdot 7^{x-1} \ge 1 \implies 7^{x-1} \ge \frac{1}{2}$.
Логарифмируя по основанию 7 (так как $7>1$, знак сохраняется): $x-1 \ge \log_7(\frac{1}{2}) \implies x-1 \ge -\log_7(2) \implies x \ge 1 - \log_7(2)$. Это решение удовлетворяет условию $x>0$.
2. Если $x = 0$, подставляем в исходное неравенство: $2 \cdot 0 \cdot 7^{0-1} \ge |0| \implies 0 \ge 0$. Это верное утверждение, значит $x=0$ является решением.
3. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид: $2x \cdot 7^{x-1} \ge -x$.
Поскольку $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $2 \cdot 7^{x-1} \le -1 \implies 7^{x-1} \le -\frac{1}{2}$.
Это неравенство не имеет решений, так как показательная функция $7^{x-1}$ всегда положительна.
Объединяя решения из всех случаев, получаем ответ.
Ответ: $x \in \{0\} \cup [1 - \log_7(2), +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $|2^{4x^2-1} - 5| \le 3$.
Неравенство вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
$-3 \le 2^{4x^2-1} - 5 \le 3$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $-3+5 \le 2^{4x^2-1} \le 3+5$
$2 \le 2^{4x^2-1} \le 8$
Представим все части в виде степени с основанием 2: $2^1 \le 2^{4x^2-1} \le 2^3$
Так как основание $2>1$, переходим к неравенству для показателей: $1 \le 4x^2-1 \le 3$
Прибавим 1 ко всем частям: $2 \le 4x^2 \le 4$
Разделим все части на 4: $\frac{2}{4} \le x^2 \le \frac{4}{4}$
$\frac{1}{2} \le x^2 \le 1$
Это двойное неравенство эквивалентно системе: $\begin{cases} x^2 \ge \frac{1}{2} \\ x^2 \le 1 \end{cases}$
Решение первого неравенства $x^2 \ge \frac{1}{2}$ есть $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$.
Решение второго неравенства $x^2 \le 1$ есть $x \in [-1, 1]$.
Пересечение этих двух множеств дает окончательное решение.
Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

д) Исходное неравенство: $\frac{3^{2|x-1|+3}}{4} < 3^{|x-1|}$.
Умножим обе части на 4: $3^{2|x-1|+3} < 4 \cdot 3^{|x-1|}$
Используя свойства степеней, преобразуем левую часть: $3^{2|x-1|+3} = 3^{2|x-1|} \cdot 3^3 = 27 \cdot (3^{|x-1|})^2$. $27 \cdot (3^{|x-1|})^2 < 4 \cdot 3^{|x-1|}$
Пусть $t = 3^{|x-1|}$. Так как $|x-1| \ge 0$, то $t = 3^{|x-1|} \ge 3^0 = 1$.
Неравенство принимает вид: $27t^2 < 4t$
$27t^2 - 4t < 0$
$t(27t - 4) < 0$
Решением этого квадратного неравенства относительно $t$ является интервал $0 < t < \frac{4}{27}$.
Теперь необходимо найти значения $t$, удовлетворяющие системе: $\begin{cases} 0 < t < \frac{4}{27} \\ t \ge 1 \end{cases}$
Так как $\frac{4}{27} < 1$, интервалы $(0, \frac{4}{27})$ и $[1, +\infty)$ не пересекаются. Система не имеет решений.
Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$.

е) Исходное неравенство: $0,2^{|\frac{x-1}{x+3}|} < \frac{1}{25}$.
ОДЗ: $x+3 \ne 0 \implies x \ne -3$.
Приведем обе части к основанию 0,2: $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = 0,2^2$.
Неравенство принимает вид: $0,2^{|\frac{x-1}{x+3}|} < 0,2^2$
Так как основание $0,2 \in (0, 1)$, показательная функция убывающая, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный: $|\frac{x-1}{x+3}| > 2$
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $\frac{x-1}{x+3} > 2$ или $\frac{x-1}{x+3} < -2$.
1. Решим $\frac{x-1}{x+3} > 2$: $\frac{x-1}{x+3} - 2 > 0 \implies \frac{x-1 - 2(x+3)}{x+3} > 0 \implies \frac{-x-7}{x+3} > 0 \implies \frac{x+7}{x+3} < 0$.
Методом интервалов находим решение: $x \in (-7, -3)$.
2. Решим $\frac{x-1}{x+3} < -2$: $\frac{x-1}{x+3} + 2 < 0 \implies \frac{x-1 + 2(x+3)}{x+3} < 0 \implies \frac{3x+5}{x+3} < 0$.
Методом интервалов находим решение: $x \in (-3, -\frac{5}{3})$.
Объединяя решения, получаем: $x \in (-7, -3) \cup (-3, -\frac{5}{3})$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (-7, -3) \cup (-3, -1\frac{2}{3})$.