Номер 31, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.31. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства

$3 \cdot 2^{|2x|} - 5 \cdot 6^{|x|} + 2 \cdot 3^{|2x|} > 0.$

Для решения задачи необходимо сначала решить данное неравенство, а затем найти требуемые целочисленные решения и их произведение.

1. Решение неравенства

Исходное неравенство:

$$3 \cdot 2^{|2x|} - 5 \cdot 6^{|x|} + 2 \cdot 3^{|2x|} > 0$$

Используя свойства модуля $|2x| = 2|x|$ и свойства степеней $a^{xy} = (a^x)^y$, $(ab)^x = a^x b^x$, преобразуем неравенство:

$$3 \cdot (2^{|x|})^2 - 5 \cdot 2^{|x|} \cdot 3^{|x|} + 2 \cdot (3^{|x|})^2 > 0$$

Данное неравенство является однородным показательным неравенством. Поскольку выражение $3^{2|x|}$ всегда больше нуля, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:

$$3 \cdot \frac{(2^{|x|})^2}{(3^{|x|})^2} - 5 \cdot \frac{2^{|x|} \cdot 3^{|x|}}{3^{2|x|}} + 2 \cdot \frac{(3^{|x|})^2}{3^{2|x|}} > 0$$

$$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2|x|} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} + 2 > 0$$

Введем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|}$. Так как $|x| \ge 0$ и основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, для переменной $t$ справедливо ограничение $0 < t \le 1$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$$3t^2 - 5t + 2 > 0$$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Парабола $y = 3t^2 - 5t + 2$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, решение неравенства $3t^2 - 5t + 2 > 0$ есть совокупность $t < \frac{2}{3}$ или $t > 1$.

Учитывая ранее установленное ограничение $0 < t \le 1$, получаем, что решением является только $0 < t < \frac{2}{3}$.

Выполним обратную замену:

$$0 < \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} < \frac{2}{3}$$

Левая часть неравенства $\left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем правую часть:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} < \left(\frac{2}{3}\right)^1$$

Так как основание степени $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$$|x| > 1$$

Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

2. Нахождение целочисленных решений и их произведения

Теперь, согласно условию задачи, найдем искомые значения.

• Наибольшее целое отрицательное решение: нужно найти наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее условию $x < -1$. Таким числом является $-2$.
• Наименьшее целое положительное решение: нужно найти наименьшее целое число $x$, удовлетворяющее условию $x > 1$. Таким числом является $2$.

Произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства: Вычислим произведение найденных решений: $(-2) \cdot 2 = -4$. Ответ: $-4$.