Номер 32, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.32. Решите неравенство:

а) $(\frac{4}{9})^{\sin x} > 0,(6)$;

б) $e^{\sin x \cos x} \leq e^{\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

a) Рассмотрим неравенство $(\frac{4}{9})^{\sin x} > 0,(6)$.
Сначала преобразуем периодическую десятичную дробь $0,(6)$ в обыкновенную. Пусть $y = 0,(6)$, тогда $10y = 6,(6)$. Вычитая из второго уравнения первое, получаем $9y = 6$, откуда $y = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{4}{9})^{\sin x} > \frac{2}{3}$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию. Так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$, получаем: $((\frac{2}{3})^2)^{\sin x} > (\frac{2}{3})^1$
$(\frac{2}{3})^{2\sin x} > (\frac{2}{3})^1$
Основание степени $a = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $2\sin x < 1$
$\sin x < \frac{1}{2}$
Решим это тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $\sin x < \frac{1}{2}$, соответствует дуга, начинающаяся в точке $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивающаяся в точке $\frac{\pi}{6}$ (при движении в положительном направлении). Однако для записи решения удобнее использовать интервал, например, от $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.
С учетом периодичности функции синус, общее решение можно записать в виде: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Представим неправильную дробь $-\frac{7}{6}$ в виде смешанного числа: $-\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}$.
Ответ: $x \in \left(-\mathbf{1}\frac{1}{6}\pi + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим неравенство $e^{\sin x \cos x} \le e^{\frac{\sqrt{3}}{4}}$.
Основание степени $e$ (число Эйлера) больше 1 ($e \approx 2.718 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства: $\sin x \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Подставим это выражение в неравенство: $\frac{1}{2}\sin(2x) \le \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Умножим обе части неравенства на 2: $\sin(2x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной $t = 2x$. Получим простое тригонометрическое неравенство $\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корнями уравнения $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ являются $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Неравенство $\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех $t$, которые лежат на дуге от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ следующего оборота. С учетом периодичности, решение для $t$ можно записать в виде: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1)$, что то же самое, что и $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим все части двойного неравенства на 2: $\frac{\pi}{3} + \pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + \pi k$.
Представим неправильную дробь $\frac{7}{6}$ в виде смешанного числа: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi k; \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi + \pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.