Номер 38, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.38. Решите неравенство:

а) $3^x < 4 - x$;

б) $2^x > \frac{3-5x}{3}$.

Данные неравенства являются трансцендентными и решаются с помощью функционально-графического метода. Суть метода заключается в том, чтобы рассмотреть левую и правую части неравенства как две отдельные функции, проанализировать их свойства (монотонность) и найти точки их пересечения. На основе этого анализа делается вывод о решении неравенства.

а) $3^x < 4 - x$

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ — это показательная функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей числовой оси.
Функция $y_2(x) = 4 - x$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой оси.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $y_1(x) = y_2(x)$:

$3^x = 4 - x$

Методом подбора легко найти корень. Проверим целые значения $x$:
При $x = 1$, левая часть равна $3^1 = 3$, а правая часть равна $4 - 1 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Неравенство $3^x < 4 - x$ будет выполняться тогда, когда график функции $y_1(x) = 3^x$ будет находиться ниже графика функции $y_2(x) = 4 - x$. Так как $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, это условие выполняется для всех $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения.
Таким образом, решение неравенства: $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

б) $2^x > \frac{3-5x}{3}$

Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \frac{3-5x}{3}$.
Функция $y_1(x) = 2^x$ — это показательная функция с основанием $2 > 1$, она строго возрастает.
Функцию $y_2(x)$ можно переписать в виде $y_2(x) = 1 - \frac{5}{3}x$. Это линейная функция, ее угловой коэффициент равен $-\frac{5}{3}$, что меньше нуля, следовательно, функция строго убывает.
Аналогично предыдущему пункту, графики этих функций могут пересечься только в одной точке. Найдем эту точку из уравнения $y_1(x) = y_2(x)$:

$2^x = \frac{3-5x}{3}$

Подберем корень. Проверим $x=0$:
Левая часть: $2^0 = 1$.
Правая часть: $\frac{3 - 5 \cdot 0}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Значит, $x=0$ — единственная точка пересечения графиков.

Нам нужно решить неравенство $2^x > \frac{3-5x}{3}$, то есть найти такие $x$, при которых график функции $y_1(x)$ находится выше графика $y_2(x)$. Так как $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, это неравенство будет выполняться для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения.
Следовательно, решение неравенства: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.