Номер 41, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.41. Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{3^x - 27}{x^2 - 4x + 4} < 0$.

Для решения неравенства $ \frac{3^x - 27}{x^2 - 4x + 4} < 0 $ проанализируем числитель и знаменатель дроби.

1. Знаменатель: $ x^2 - 4x + 4 $.

Это выражение можно свернуть по формуле квадрата разности: $ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $.

$$ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 $$

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому мы должны исключить значение $x$, при котором $ (x-2)^2 = 0 $.

$$ (x-2)^2 \neq 0 \implies x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $$

При всех остальных значениях $x$ (то есть при $x \neq 2$) знаменатель $ (x-2)^2 $ будет строго больше нуля, так как квадрат любого ненулевого числа положителен.

2. Анализ неравенства:

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен (при $x \neq 2$), знак всей дроби зависит только от знака числителя. Чтобы дробь была меньше нуля, числитель должен быть меньше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} 3^x - 27 < 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $$

3. Решение показательного неравенства:

Решим неравенство $ 3^x - 27 < 0 $.

$$ 3^x < 27 $$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3:

$$ 27 = 3^3 $$

Получаем неравенство:

$$ 3^x < 3^3 $$

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция $ y=3^x $ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей, сохранив его знак:

$$ x < 3 $$

4. Определение итогового решения:

Объединяем полученный результат с условием $ x \neq 2 $. Решением исходного неравенства являются все числа $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $ x < 3 $ и $ x \neq 2 $.

Это можно записать в виде объединения интервалов: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) $.

5. Поиск наибольшего целого решения:

В задаче требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству. Мы ищем наибольшее целое число из множества $ (-\infty; 2) \cup (2; 3) $.

Целые числа, которые меньше 3, это: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Из этого списка мы должны исключить число 2.

Таким образом, множество целых решений неравенства: {..., -3, -2, -1, 0, 1}.

Наибольшее число в этом множестве — это 1.

Ответ: 1.