Номер 2, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.2. Верно ли, что значения выражений являются противоположными числами:

a) $ln e$ и $tg \frac{3\pi}{4}$;

б) $\sqrt[3]{-216}$ и $log_2 21\frac{1}{3} + log_2 3$?

Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю. Чтобы проверить, являются ли значения выражений противоположными числами, необходимо найти значения каждого выражения и проверить, равна ли их сумма нулю.

а) Найдем значения выражений $ \ln e $ и $ \text{tg}\frac{3\pi}{4} $.

1. Натуральный логарифм $ \ln e $ — это логарифм по основанию $e$. По определению логарифма ($ \log_a a = 1 $), имеем:

$ \ln e = \log_e e = 1 $

2. Найдем значение тангенса. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ находится во второй координатной четверти, где тангенс имеет отрицательное значение. Используя формулу приведения $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $, получаем:

$ \text{tg}\frac{3\pi}{4} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\frac{\pi}{4} = -1 $

3. Сравним полученные значения: $1$ и $-1$. Их сумма равна $ 1 + (-1) = 0 $. Следовательно, данные числа являются противоположными.

Ответ: да, верно.

б) Найдем значения выражений $ \sqrt[3]{-216} $ и $ \log_2 21\frac{1}{3} + \log_2 3 $.

1. Вычислим значение кубического корня:

$ \sqrt[3]{-216} = \sqrt[3]{(-6)^3} = -6 $

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$ 21\frac{1}{3} = \frac{21 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{64}{3} $

Теперь воспользуемся свойством суммы логарифмов $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $:

$ \log_2 21\frac{1}{3} + \log_2 3 = \log_2\left(\frac{64}{3}\right) + \log_2 3 = \log_2\left(\frac{64}{3} \cdot 3\right) = \log_2 64 $

Так как $ 2^6 = 64 $, то:

$ \log_2 64 = 6 $

3. Сравним полученные значения: $-6$ и $6$. Их сумма равна $ -6 + 6 = 0 $. Следовательно, данные числа являются противоположными.

Ответ: да, верно.