Номер 6, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.6. Зная, что $\log_a b = 5$, найдите значение выражения:

а) $\log_a (a^2 b)$;

б) $\log_a \frac{a}{b^4}$;

в) $\log_a \frac{b^2}{a^3}$;

г) $\log_a \sqrt{ab}$;

д) $\log_a (a^3 \sqrt{b})$;

е) $\log_a \frac{a\sqrt[5]{a}}{\sqrt[4]{b}}$.

Для решения данных выражений мы будем использовать основные свойства логарифмов и известное значение $ \log_a b = 5 $.

• Логарифм произведения: $ \log_c(xy) = \log_c x + \log_c y $
• Логарифм частного: $ \log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y $
• Логарифм степени: $ \log_c(x^p) = p \log_c x $
• Основное свойство: $ \log_a a = 1 $

а) $ \log_a(a^2b) $
Используя свойство логарифма произведения, раскладываем выражение на сумму логарифмов:
$ \log_a(a^2b) = \log_a(a^2) + \log_a b $
Затем применяем свойство логарифма степени и подставляем известные значения:
$ 2 \log_a a + \log_a b = 2 \cdot 1 + 5 = 7 $.
Ответ: 7.

б) $ \log_a \frac{a}{b^4} $
Используя свойство логарифма частного, раскладываем выражение на разность логарифмов:
$ \log_a \frac{a}{b^4} = \log_a a - \log_a(b^4) $
Применяем свойство логарифма степени и подставляем известные значения:
$ 1 - 4 \log_a b = 1 - 4 \cdot 5 = 1 - 20 = -19 $.
Ответ: -19.

в) $ \log_a \frac{b^2}{a^3} $
Используя свойство логарифма частного:
$ \log_a \frac{b^2}{a^3} = \log_a(b^2) - \log_a(a^3) $
Применяем свойство логарифма степени и подставляем известные значения:
$ 2 \log_a b - 3 \log_a a = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 10 - 3 = 7 $.
Ответ: 7.

г) $ \log_a \sqrt{ab} $
Представляем квадратный корень как степень $ 1/2 $:
$ \log_a \sqrt{ab} = \log_a((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a(ab) $
Используем свойство логарифма произведения и подставляем известные значения:
$ \frac{1}{2}(\log_a a + \log_a b) = \frac{1}{2}(1 + 5) = \frac{6}{2} = 3 $.
Ответ: 3.

д) $ \log_a (a^3\sqrt[3]{b}) $
Представляем корень как степень и используем свойство логарифма произведения:
$ \log_a (a^3\sqrt[3]{b}) = \log_a(a^3) + \log_a(b^{1/3}) $
Применяем свойство логарифма степени и подставляем известные значения:
$ 3 \log_a a + \frac{1}{3} \log_a b = 3 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 5 = 3 + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} + \frac{5}{3} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} $.
Ответ: 4$ \frac{2}{3} $.

е) $ \log_a \frac{a^5\sqrt[5]{a}}{\sqrt[4]{b}} $
Сначала преобразуем выражение под логарифмом, представив корни в виде степеней:
$ \frac{a^5 \cdot a^{1/5}}{b^{1/4}} = \frac{a^{5+\frac{1}{5}}}{b^{1/4}} = \frac{a^{26/5}}{b^{1/4}} $
Теперь вычисляем логарифм, используя свойства частного и степени:
$ \log_a \left(\frac{a^{26/5}}{b^{1/4}}\right) = \log_a(a^{26/5}) - \log_a(b^{1/4}) = \frac{26}{5} \log_a a - \frac{1}{4} \log_a b $
Подставляем известные значения и вычисляем:
$ \frac{26}{5} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{26}{5} - \frac{5}{4} = \frac{104 - 25}{20} = \frac{79}{20} = 3 \frac{19}{20} $.
Ответ: 3$ \frac{19}{20} $.