Номер 11, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.11. Вычислите:

a) $log_{log_{2}\sqrt{2}}(\log_{\sqrt{6}}36) + 2;$

б) $5^{\frac{\ln 49}{\ln 7}} + \log_{\log_6 36} \log_3 81.$

а) $\log_{\log_2 \sqrt{2}} (\log_{\sqrt{6}} 36) + 2$

Решим данное выражение по частям. Сначала вычислим значения логарифмов, стоящих в основании и в аргументе основного логарифма.

1. Вычислим основание внешнего логарифма: $\log_2 \sqrt{2}$.

Используя свойство корня $ \sqrt{a} = a^{1/2} $ и свойство логарифма $ \log_a a^b = b $, получаем:

$\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{1/2} = \frac{1}{2}$

2. Вычислим аргумент внешнего логарифма: $\log_{\sqrt{6}} 36$.

Представим основание и аргумент в виде степеней с одинаковым основанием 6: $ \sqrt{6} = 6^{1/2} $ и $ 36 = 6^2 $. Используем свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$\log_{\sqrt{6}} 36 = \log_{6^{1/2}} 6^2 = \frac{2}{1/2} \log_6 6 = 4 \cdot 1 = 4$

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\log_{1/2} (4) + 2$

4. Теперь вычислим $\log_{1/2} 4$.

Пусть $\log_{1/2} 4 = x$. По определению логарифма, $ (\frac{1}{2})^x = 4 $. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2: $ (2^{-1})^x = 2^2 $, что равносильно $ 2^{-x} = 2^2 $. Отсюда $-x = 2$, значит $x = -2$.

5. Завершим вычисление:

$-2 + 2 = 0$

Ответ: 0

б) $5^{\frac{\ln 49}{\ln 7}} + \log_{\log_6 36} \log_3 81$

Решим данное выражение, вычислив каждое слагаемое по отдельности.

1. Вычислим первое слагаемое: $5^{\frac{\ln 49}{\ln 7}}$.

Сначала упростим показатель степени, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $:

$\frac{\ln 49}{\ln 7} = \log_7 49 = \log_7 7^2 = 2$

Теперь возведем 5 в полученную степень:

$5^2 = 25$

2. Вычислим второе слагаемое: $\log_{\log_6 36} \log_3 81$.

Сначала вычислим логарифмы в основании и аргументе.

Основание: $\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$.

Аргумент: $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$.

Подставим эти значения в выражение:

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

3. Сложим результаты, полученные для двух слагаемых:

$25 + 2 = 27$

Ответ: 27