Номер 15, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.15. Выразите:

a) $lg 15$ через $lg 3$ и $lg 5$;

б) $lg 56$ через $lg 2$ и $lg 7$;

в) $lg 0.75$ через $lg 2$ и $lg 3$.

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами десятичного логарифма ($\lg$), который является логарифмом по основанию 10:

• Свойство логарифма произведения: $ \lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b $
• Свойство логарифма частного: $ \lg(a / b) = \lg a - \lg b $
• Свойство логарифма степени: $ \lg(a^n) = n \cdot \lg a $

а) Чтобы выразить $ \lg 15 $ через $ \lg 3 $ и $ \lg 5 $, представим число 15 как произведение множителей 3 и 5.

$ 15 = 3 \cdot 5 $

Применим свойство логарифма произведения:

$ \lg 15 = \lg(3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5 $

Ответ: $ \lg 3 + \lg 5 $

б) Чтобы выразить $ \lg 56 $ через $ \lg 2 $ и $ \lg 7 $, разложим число 56 на простые множители.

$ 56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $

Применим последовательно свойства логарифма произведения и логарифма степени:

$ \lg 56 = \lg(2^3 \cdot 7) = \lg(2^3) + \lg 7 = 3 \lg 2 + \lg 7 $

Ответ: $ 3 \lg 2 + \lg 7 $

в) Чтобы выразить $ \lg 0,75 $ через $ \lg 2 $ и $ \lg 3 $, представим десятичную дробь 0,75 в виде обыкновенной дроби и упростим ее.

$ 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} $

Представим знаменатель в виде степени числа 2: $ 4 = 2^2 $. Таким образом, $ 0,75 = \frac{3}{2^2} $.

Теперь применим последовательно свойства логарифма частного и логарифма степени:

$ \lg 0,75 = \lg\left(\frac{3}{2^2}\right) = \lg 3 - \lg(2^2) = \lg 3 - 2 \lg 2 $

Ответ: $ \lg 3 - 2 \lg 2 $