Номер 8, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.8. Определите, рациональным или иррациональным числом является

значение выражения:

a) $\log_3 \sqrt[5]{9\sqrt[4]{3}};$

б) $\lg \sqrt[7]{0,01\sqrt[3]{10}}.$

a) Чтобы определить, является ли значение выражения $\log_3 \sqrt[5]{9\sqrt[4]{3}}$ рациональным или иррациональным числом, необходимо его вычислить. Для этого упростим выражение под знаком логарифма, представив все его компоненты в виде степеней с основанием 3.

Сначала преобразуем подкоренное выражение $9\sqrt[4]{3}$:

$9 = 3^2$

$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$

Следовательно, $9\sqrt[4]{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 3^{2+\frac{1}{4}} = 3^{\frac{9}{4}}$.

Теперь извлечем корень 5-й степени:

$\sqrt[5]{9\sqrt[4]{3}} = \sqrt[5]{3^{\frac{9}{4}}} = \left(3^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 3^{\frac{9}{20}}$.

Подставим полученное выражение в исходный логарифм:

$\log_3 \sqrt[5]{9\sqrt[4]{3}} = \log_3 \left(3^{\frac{9}{20}}\right)$.

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:

$\log_3 \left(3^{\frac{9}{20}}\right) = \frac{9}{20}$.

Число $\frac{9}{20}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел. Дробь является правильной.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{9}{20}$, что является рациональным числом.

б) Чтобы определить, является ли значение выражения $\lg \sqrt[7]{0,01\sqrt[3]{10}}$ рациональным или иррациональным числом, вычислим его. Знак $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Упростим выражение под знаком логарифма, представив все компоненты в виде степеней с основанием 10.

Сначала преобразуем подкоренное выражение $0,01\sqrt[3]{10}$:

$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

$\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$

Следовательно, $0,01\sqrt[3]{10} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{-2+\frac{1}{3}} = 10^{-\frac{6}{3}+\frac{1}{3}} = 10^{-\frac{5}{3}}$.

Теперь извлечем корень 7-й степени:

$\sqrt[7]{0,01\sqrt[3]{10}} = \sqrt[7]{10^{-\frac{5}{3}}} = \left(10^{-\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{7}} = 10^{-\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{7}} = 10^{-\frac{5}{21}}$.

Подставим полученное выражение в исходный логарифм:

$\lg \sqrt[7]{0,01\sqrt[3]{10}} = \lg \left(10^{-\frac{5}{21}}\right)$.

Используя свойство логарифма $\log_{10}(10^x) = x$, получаем:

$\lg \left(10^{-\frac{5}{21}}\right) = -\frac{5}{21}$.

Число $-\frac{5}{21}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел. Дробь является правильной.

Ответ: Значение выражения равно $-\frac{5}{21}$, что является рациональным числом.