Номер 1, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.1. Воспользуйтесь свойствами логарифмов и вычислите:

а) $log_{1/12} 4 + log_{1/12} 3;$

б) $log_5 \frac{35}{3} + log_5 \frac{75}{7};$

в) $log_6 \frac{1}{3} - log_6 12;$

г) $log_3 \sqrt{3} + log_5 75 - log_5 3;$

д) $log_7 14 + log_7 \frac{49}{4} - log_7 3,5;$

е) $lg 20 + lg 2 - lg 0,04;$

ж) $log_5 75 - log_5 9 + log_5 15;$

з) $\frac{\log_{0,9} 32}{\log_{0,9} 17 - \log_{0,9} 34}.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством: $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$.

$\log_{\frac{1}{12}} 4 + \log_{\frac{1}{12}} 3 = \log_{\frac{1}{12}} (4 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{12}} 12$.

Чтобы найти значение $\log_{\frac{1}{12}} 12$, решим уравнение $(\frac{1}{12})^x = 12$.

Так как $\frac{1}{12} = 12^{-1}$, уравнение принимает вид $(12^{-1})^x = 12^1$, или $12^{-x} = 12^1$.

Приравнивая показатели степени, получаем $-x = 1$, откуда $x = -1$.

Ответ: -1.

б) Применим свойство суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$.

$\log_5 \frac{35}{3} + \log_5 \frac{75}{7} = \log_5 (\frac{35}{3} \cdot \frac{75}{7})$.

Упростим произведение под знаком логарифма: $\frac{35 \cdot 75}{3 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 25}{3 \cdot 7} = 5 \cdot 25 = 125$.

Выражение стало равно $\log_5 125$.

Поскольку $125 = 5^3$, то $\log_5 125 = \log_5 (5^3) = 3$.

Ответ: 3.

в) Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством: $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$.

$\log_6 \frac{1}{3} - \log_6 12 = \log_6 \left(\frac{\frac{1}{3}}{12}\right) = \log_6 \left(\frac{1}{3 \cdot 12}\right) = \log_6 \left(\frac{1}{36}\right)$.

Так как $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$, то $\log_6 (\frac{1}{36}) = \log_6 (6^{-2}) = -2$.

Ответ: -2.

г) Данное выражение состоит из слагаемых с разными основаниями логарифмов. Вычислим их по частям.

Первое слагаемое: $\log_3 \sqrt{3} = \log_3 (3^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Вторую часть выражения, $\log_5 75 - \log_5 3$, упростим с помощью свойства разности логарифмов:

$\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 (\frac{75}{3}) = \log_5 25$.

Так как $25 = 5^2$, то $\log_5 25 = 2$.

Теперь сложим полученные результаты: $\frac{1}{2} + 2 = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: 2$\frac{1}{2}$.

д) Используем свойства сложения и вычитания логарифмов: $\log_a x + \log_a y - \log_a z = \log_a\left(\frac{x \cdot y}{z}\right)$.

$\log_7 14 + \log_7 \frac{49}{4} - \log_7 3,5 = \log_7 \left(\frac{14 \cdot \frac{49}{4}}{3,5}\right)$.

Представим $3,5$ как $\frac{7}{2}$ и упростим выражение под логарифмом:

$\frac{14 \cdot \frac{49}{4}}{\frac{7}{2}} = \frac{14 \cdot 49}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 49 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 49}{4 \cdot 7} = 49$.

Получаем $\log_7 49$. Так как $49 = 7^2$, то $\log_7 49 = 2$.

Ответ: 2.

е) Обозначение $\lg$ соответствует логарифму по основанию 10. Применим свойства логарифмов:

$\lg 20 + \lg 2 - \lg 0,04 = \lg\left(\frac{20 \cdot 2}{0,04}\right)$.

Упростим выражение в скобках: $\frac{40}{0,04} = \frac{40}{4/100} = \frac{40 \cdot 100}{4} = 10 \cdot 100 = 1000$.

Получаем $\lg 1000$. Так как $1000 = 10^3$, то $\lg 1000 = \log_{10}(10^3) = 3$.

Ответ: 3.

ж) Применим последовательно свойства вычитания и сложения логарифмов:

$\log_5 75 - \log_5 9 + \log_5 15 = \log_5\left(\frac{75}{9}\right) + \log_5 15 = \log_5\left(\frac{75}{9} \cdot 15\right)$.

Упростим выражение в скобках: $\frac{75 \cdot 15}{9} = \frac{(25 \cdot 3) \cdot 15}{3 \cdot 3} = \frac{25 \cdot 15}{3} = 25 \cdot 5 = 125$.

Получаем $\log_5 125$. Так как $125 = 5^3$, то $\log_5 125 = 3$.

Ответ: 3.

з) Сначала упростим знаменатель дроби, используя свойство разности логарифмов:

$\log_{0,9} 17 - \log_{0,9} 34 = \log_{0,9}\left(\frac{17}{34}\right) = \log_{0,9}\left(\frac{1}{2}\right)$.

Теперь все выражение имеет вид: $\frac{\log_{0,9} 32}{\log_{0,9} (\frac{1}{2})}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$.

$\frac{\log_{0,9} 32}{\log_{0,9} (\frac{1}{2})} = \log_{\frac{1}{2}} 32$.

Чтобы найти значение $\log_{\frac{1}{2}} 32$, решим уравнение $(\frac{1}{2})^x = 32$.

Представим обе части как степени двойки: $(2^{-1})^x = 2^5$, что равносильно $2^{-x} = 2^5$.

Приравнивая показатели, получаем $-x = 5$, откуда $x = -5$.

Ответ: -5.