Номер 39, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.39. Решите неравенство $(\frac{1}{5})^{|x|} - 1 \ge 5|\sin\frac{x}{5}|$.

Данное неравенство: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} - 1 \ge 5 \left|\sin\frac{x}{5}\right| $$ Для решения этого неравенства воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Оценим левую часть (ЛЧ) неравенства: $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} - 1$.
По определению модуля, $|x| \ge 0$. Показательная функция $y=a^t$ с основанием $a \in (0, 1)$ является убывающей. В нашем случае основание равно $\frac{1}{5}$, поэтому: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \le \left(\frac{1}{5}\right)^0 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} \le 1 $$ Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} - 1 \le 1 - 1 $$ $$ f(x) \le 0 $$ Таким образом, левая часть неравенства всегда меньше или равна нулю.

2. Оценим правую часть (ПЧ) неравенства: $g(x) = 5 \left|\sin\frac{x}{5}\right|$.
Функция синуса ограничена: $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$. Следовательно, ее модуль ограничен: $$ 0 \le \left|\sin\frac{x}{5}\right| \le 1 $$ Умножим все части неравенства на 5: $$ 5 \cdot 0 \le 5 \left|\sin\frac{x}{5}\right| \le 5 \cdot 1 $$ $$ 0 \le g(x) \le 5 $$ Таким образом, правая часть неравенства всегда больше или равна нулю.

3. Сопоставим оценки.
Мы имеем неравенство $f(x) \ge g(x)$, где $f(x) \le 0$ и $g(x) \ge 0$. Неравенство, в котором неположительная величина ($f(x)$) больше или равна неотрицательной величине ($g(x)$), может выполняться только в единственном случае: когда обе части равны нулю. $$ f(x) = 0 \quad \text{и} \quad g(x) = 0 $$ Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} - 1 = 0 \\ 5 \left|\sin\frac{x}{5}\right| = 0 \end{cases} $$

4. Решим систему уравнений.
Решим первое уравнение: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} - 1 = 0 \implies \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} = 1 \implies \left(\frac{1}{5}\right)^{|x|} = \left(\frac{1}{5}\right)^0 $$ $$ |x| = 0 \implies x = 0 $$ Решим второе уравнение: $$ 5 \left|\sin\frac{x}{5}\right| = 0 \implies \sin\frac{x}{5} = 0 $$ $$ \frac{x}{5} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = 5k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Решением исходного неравенства является значение $x$, удовлетворяющее обоим уравнениям системы. Единственное значение, которое является решением и первого, и второго уравнения, — это $x=0$ (получается при $k=0$ во втором решении).

Ответ: $x=0$