Номер 36, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.36. Решите неравенство

$\sqrt{4^x - 8 \cdot 7^{-x}} < 7^{1 - \frac{x}{2}} - 2^{x+1}$

Для решения неравенства $\sqrt{4^x - 8 \cdot 7^{-x}} < 7^{1-\frac{x}{2}} - 2^{x+1}$ выполним следующие шаги.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ) Неравенство имеет смысл, когда выполнены два условия:

• Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.
• Правая часть неравенства строго положительна, так как значение корня не может быть меньше отрицательного числа.

Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} 4^x - 8 \cdot 7^{-x} \ge 0 \\ 7^{1-\frac{x}{2}} - 2^{x+1} > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ 4^x - \frac{8}{7^x} \ge 0 \implies 4^x \cdot 7^x \ge 8 \implies 28^x \ge 8 $$

Логарифмируя по основанию 28 (больше 1), получаем:

$$ x \ge \log_{28} 8 $$

Решим второе неравенство:

$$ 7^{1-\frac{x}{2}} > 2^{x+1} \implies \frac{7}{7^{x/2}} > 2 \cdot 2^x \implies \frac{7}{2} > 2^x \cdot (\sqrt{7})^x \implies \frac{7}{2} > (2\sqrt{7})^x \implies \frac{7}{2} > (\sqrt{28})^x $$

Логарифмируя по основанию $\sqrt{28}$ (больше 1), получаем:

$$ x < \log_{\sqrt{28}} \frac{7}{2} $$

Преобразуем логарифм к основанию 28:

$$ \log_{\sqrt{28}} \frac{7}{2} = \log_{28^{1/2}} \frac{7}{2} = 2\log_{28} \frac{7}{2} = \log_{28} \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \log_{28} \frac{49}{4} = \log_{28} 12.25 $$

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ:

$$ [\log_{28} 8, \log_{28} 12.25) $$

2. Решение основного неравенства

На ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства:

$$ \left(\sqrt{4^x - 8 \cdot 7^{-x}}\right)^2 < \left(7^{1-\frac{x}{2}} - 2^{x+1}\right)^2 $$

$$ 4^x - 8 \cdot 7^{-x} < \left(7^{1-\frac{x}{2}}\right)^2 - 2 \cdot 7^{1-\frac{x}{2}} \cdot 2^{x+1} + \left(2^{x+1}\right)^2 $$

$$ 4^x - \frac{8}{7^x} < 7^{2-x} - 28 \frac{2^x}{7^{x/2}} + 4 \cdot 4^x $$

Перенесем все слагаемые в правую часть и приведем подобные:

$$ 0 < 3 \cdot 4^x + \frac{57}{7^x} - 28 \left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^x $$

Разделим все неравенство на $4^x > 0$:

$$ 0 < 3 + 57 \cdot \frac{1}{28^x} - 28 \frac{(2/\sqrt{7})^x}{4^x} $$

Упростим выражение:

$$ 0 < 3 + 57 \cdot (28^{-x}) - 28 \left(\frac{1}{2\sqrt{7}}\right)^x \implies 0 < 3 + 57 \cdot (28^{-x}) - 28 \cdot (28^{-1/2})^x $$

Сделаем замену переменной $t = (28^{-x})^{1/2} = (\sqrt{28})^{-x}$. Так как $x$ - вещественное число, $t > 0$. Неравенство становится квадратным:

$$ 57t^2 - 28t + 3 > 0 $$

Находим корни уравнения $57t^2 - 28t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 57 \cdot 3 = 784 - 684 = 100$.

$$ t_{1} = \frac{28 - 10}{114} = \frac{18}{114} = \frac{3}{19}, \quad t_{2} = \frac{28 + 10}{114} = \frac{38}{114} = \frac{1}{3} $$

Поскольку ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $t < \frac{3}{19}$ или $t > \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1) $(\sqrt{28})^{-x} > \frac{1}{3} \implies (1/\sqrt{28})^x > 1/3$. Так как основание $1/\sqrt{28} < 1$, то $x < \log_{1/\sqrt{28}} (1/3) = \log_{\sqrt{28}} 3 = \log_{28} 9$.

2) $(\sqrt{28})^{-x} < \frac{3}{19} \implies (1/\sqrt{28})^x < 3/19$. Так как основание $1/\sqrt{28} < 1$, то $x > \log_{1/\sqrt{28}} (3/19) = \log_{\sqrt{28}} (19/3) = \log_{28} \left(\frac{19}{3}\right)^2 = \log_{28}\frac{361}{9}$.

В выражении $\log_{28}\frac{361}{9}$ есть неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{361}{9} = \mathbf{40}\frac{1}{9}$.

Таким образом, множество решений преобразованного неравенства: $x \in (-\infty, \log_{28} 9) \cup (\log_{28}(40\frac{1}{9}), +\infty)$.

3. Определение итогового решения

Найдем пересечение полученного множества решений с ОДЗ: $x \in [\log_{28} 8, \log_{28} 12.25)$.

Сравним значения под знаком логарифма (основание $28>1$, поэтому функция $\log_{28}y$ возрастающая):

$$ 8 < 9 < 12.25 < 40\frac{1}{9} $$

Следовательно:

$$ \log_{28} 8 < \log_{28} 9 < \log_{28} 12.25 < \log_{28}\left(40\frac{1}{9}\right) $$

Пересечение множеств $[\log_{28} 8, \log_{28} 12.25)$ и $(-\infty, \log_{28} 9) \cup (\log_{28}(40\frac{1}{9}), +\infty)$ является интервал $[\log_{28} 8, \log_{28} 9)$.

Ответ: $x \in [\log_{28} 8, \log_{28} 9)$.