Номер 37, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.37. Найдите сумму целых решений неравенства $(\frac{2\sin1}{\sqrt{3}})^{x^2+2x} \geqslant (\frac{2\sin1}{\sqrt{3}})^8$.

Рассмотрим показательное неравенство $ \left(\frac{2\sin1}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+2x} \ge \left(\frac{2\sin1}{\sqrt{3}}\right)^8 $. Ключевым шагом в решении является определение величины основания $ a = \frac{2\sin1}{\sqrt{3}} $.

Сначала проанализируем основание. Аргумент функции синус, равный 1, задан в радианах. Сравним его с известными значениями: $ \frac{\pi}{4} \approx 0.785 $ и $ \frac{\pi}{3} \approx 1.047 $. Таким образом, мы имеем неравенство $ \frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{3} $. Поскольку функция $ y = \sin x $ является возрастающей на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, справедливо следующее соотношение:

$ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) < \sin(1) < \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Подставив точные значения, получим:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} < \sin(1) < \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь оценим основание $ a $, умножив все части неравенства на $ \frac{2}{\sqrt{3}} $:

$ \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{2\sin1}{\sqrt{3}} < \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sqrt{\frac{2}{3}} < \frac{2\sin1}{\sqrt{3}} < 1 $

Мы установили, что основание степени $ a $ находится в интервале $ (0, 1) $. Для показательной функции с таким основанием характерно то, что она является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ x^2 + 2x \le 8 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$ x^2 + 2x - 8 \le 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение -8. Отсюда корни:

$ x_1 = -4, \quad x_2 = 2 $

Графиком функции $ y = x^2 + 2x - 8 $ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения ($ \le 0 $) на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является множество $ x \in [-4, 2] $.

В задаче требуется найти сумму целых решений. Целые числа, входящие в отрезок $ [-4, 2] $, это: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Сумма этих чисел равна:

$ S = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -7 $

Сумма целых решений неравенства: Ответ: -7