Номер 21, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.21. Найдите все значения аргумента, при которых функция $f(x) = 2^{x^2+2} - 2^{x^2+3} - 2^{x^2+4} - 5^{x^2+1} + 5^{x^2+2}$ принимает отрицательные значения.

Чтобы найти все значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$.

Запишем неравенство для заданной функции:

$f(x) = 2^{x^2+2} - 2^{x^2+3} - 2^{x^2+4} - 5^{x^2+1} + 5^{x^2+2} < 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$(2^{x^2+2} - 2^{x^2+3} - 2^{x^2+4}) + (5^{x^2+2} - 5^{x^2+1}) < 0$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Для первой группы вынесем $2^{x^2}$, для второй — $5^{x^2}$.

$2^{x^2}(2^2 - 2^3 - 2^4) + 5^{x^2}(5^2 - 5^1) < 0$

Вычислим значения в скобках:

$2^{x^2}(4 - 8 - 16) + 5^{x^2}(25 - 5) < 0$

$2^{x^2}(-20) + 5^{x^2}(20) < 0$

$20 \cdot 5^{x^2} - 20 \cdot 2^{x^2} < 0$

Вынесем общий множитель 20 за скобку:

$20 (5^{x^2} - 2^{x^2}) < 0$

Разделим обе части неравенства на 20 (поскольку $20 > 0$, знак неравенства не меняется):

$5^{x^2} - 2^{x^2} < 0$

$5^{x^2} < 2^{x^2}$

Разделим обе части неравенства на $2^{x^2}$. Так как $x$ — действительное число, то $x^2 \ge 0$, и показательная функция $2^{x^2}$ всегда строго положительна ($2^{x^2} \ge 2^0 = 1$). Поэтому при делении на $2^{x^2}$ знак неравенства не изменится.

$\frac{5^{x^2}}{2^{x^2}} < 1$

Используя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:

$(\frac{5}{2})^{x^2} < 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{5}{2}$:

$(\frac{5}{2})^{x^2} < (\frac{5}{2})^0$

Основание степени $\frac{5}{2}$ больше 1. Показательная функция с основанием больше 1 является возрастающей. Следовательно, при переходе от неравенства степеней к неравенству их показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $x^2 < 0$ не имеет решений в области действительных чисел.

Следовательно, не существует таких значений аргумента $x$, при которых данная функция $f(x)$ принимает отрицательные значения.

Ответ: таких значений аргумента не существует.