Номер 6, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

$\begin{cases} (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{8}{9})^{-x} > \frac{27}{64}, \\ 2^{x^2 - 6x - 3,5} < 8\sqrt{2}. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{8}{9})^{-x} > \frac{27}{64}$

Сначала преобразуем левую часть неравенства. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получим:

$$(\frac{8}{9})^{-x} = (\frac{9}{8})^x$$

Теперь неравенство выглядит так:

$$(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x > \frac{27}{64}$$

Применяя свойство $(a)^n \cdot (b)^n = (a \cdot b)^n$, объединим степени:

$$(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x > \frac{27}{64}$$

Упростим основание степени:

$$\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Неравенство принимает вид:

$$(\frac{3}{4})^x > \frac{27}{64}$$

Представим правую часть в виде степени с тем же основанием $\frac{3}{4}$:

$$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$$

Получаем показательное неравенство:

$$(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^3$$

Так как основание степени $a = \frac{3}{4}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$$x < 3$$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

2. Решим второе неравенство: $2^{x^2 - 6x - 3,5} < 8\sqrt{2}$

Преобразуем правую часть неравенства к степени с основанием 2:

$$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3 + \frac{1}{2}} = 2^{3,5}$$

Подставим это в неравенство:

$$2^{x^2 - 6x - 3,5} < 2^{3,5}$$

Так как основание степени $a = 2$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$$x^2 - 6x - 3,5 < 3,5$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$x^2 - 6x - 3,5 - 3,5 < 0$$

$$x^2 - 6x - 7 < 0$$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$$

$$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1; 7)$.

3. Найдем решение системы

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Запишем полученные решения в виде системы:

$$\begin{cases} x < 3 \\ -1 < x < 7 \end{cases}$$

На числовой оси находим пересечение интервалов $(-\infty; 3)$ и $(-1; 7)$. Общей частью для этих двух интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.