Номер 7, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.7. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{32^{\frac{3x-4}{x}} - 2^{\frac{5x}{2}}}$;

б) $y = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{27}}}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{32^{\frac{3x-4}{x}} - 2^{\frac{5x}{2}}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$32^{\frac{3x-4}{x}} - 2^{\frac{5x}{2}} \ge 0$
Приведем обе части неравенства к основанию 2, так как $32 = 2^5$:
$(2^5)^{\frac{3x-4}{x}} \ge 2^{\frac{5x}{2}}$
$2^{\frac{5(3x-4)}{x}} \ge 2^{\frac{5x}{2}}$
$2^{\frac{15x-20}{x}} \ge 2^{\frac{5x}{2}}$
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем сравнить показатели степеней, сохраняя знак неравенства. Также необходимо учесть, что знаменатель дроби в показателе степени не может быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.
$\frac{15x-20}{x} \ge \frac{5x}{2}$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{15x-20}{x} - \frac{5x}{2} \ge 0$
$\frac{2(15x-20) - x(5x)}{2x} \ge 0$
$\frac{30x - 40 - 5x^2}{2x} \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{5x^2 - 30x + 40}{2x} \le 0$
Разделив числитель на 5, получим эквивалентное неравенство:
$\frac{x^2 - 6x + 8}{x} \le 0$
Найдем корни числителя $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$.
Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-2)(x-4)}{x} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: $x=0$, $x=2$, $x=4$. Точка $x=0$ выколота, так как находится в знаменателе. Точки $x=2$ и $x=4$ включены, так как неравенство нестрогое. Определив знаки выражения на интервалах, находим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, 0) \cup [2, 4]$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup [2, 4]$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{(\frac{1}{3})^{\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{27}}}$ находится из условия:
$(\frac{1}{3})^{\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{27}} \ge 0$
Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{3}$. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3^3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = (\frac{1}{3})^{3/2}$.
$(\frac{1}{3})^{\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1} \ge (\frac{1}{3})^{3/2}$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный. Также необходимо учесть, что $x \ne 0$.
$\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1 \le \frac{3}{2}$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x}{2} - \frac{1}{x} + 1 - \frac{3}{2} \le 0$
$\frac{x}{2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \le 0$
Общий знаменатель $2x$:
$\frac{x \cdot x - 1 \cdot 2 - 1 \cdot x}{2x} \le 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{2x} \le 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{x} \le 0$
Найдем корни числителя $x^2 - x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-2)(x+1)}{x} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-1$, $x=0$, $x=2$. Точка $x=0$ выколота, точки $x=-1$ и $x=2$ включены. Определив знаки выражения на интервалах, находим, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 2]$.
Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, 2]$.